Comment résoudre un système d’équations? Imagine que chaque équation dessine une droite. Ton défi? Trouver leur point d’intersection, un seul couple de coordonnées (x, y) qui satisfait les deux équations simultanément. Prêt à relever le défi?
Qu’est-ce qu’un système d’équations ?
Dans ce chapitre, tu apprendras à résoudre des systèmes d’équations, c’est-à-dire un ensemble de deux ou plusieurs équations comportant plusieurs inconnues. En 3ème, nous nous concentrons principalement sur les systèmes à deux équations et deux inconnues, généralement notées x et y. La résolution de ces systèmes revient à trouver l’ensemble des couples (x ; y) qui vérifient les deux équations. En d’autres termes, il s’agit de déterminer le point d’intersection de deux droites.
La représentation graphique du système
Pour visualiser la solution d’un système d’équations, tu peux tracer les droites correspondant à chaque équation sur un repère graphique. Le couple solution, s’il existe, est représenté par le point où ces deux droites se croisent. Cette représentation est particulièrement utile pour te donner une idée visuelle de la situation et pour vérifier tes calculs.
🎨 Astuce :
Tu n’as pas besoin d’une précision parfaite lorsque tu traces les droites. Une approximation peut souvent te donner une bonne idée de la solution !
Méthode de substitution
La méthode de substitution consiste à isoler l’une des deux inconnues dans une des équations, puis à remplacer cette inconnue dans l’autre équation. Cela te permet de réduire le système à une seule équation avec une seule inconnue, que tu pourras résoudre plus facilement.
📚 Exemple :
Soit le système suivant :
- x + y = 5
- 2x – y = 1
Dans la première équation, on peut isoler y : y = 5 – x. En remplaçant y dans la deuxième équation, on obtient : 2x – (5 – x) = 1 qui donne 3x = 6, donc x = 2. En remplaçant ce x dans la première équation, on trouve y = 3. Le couple solution est (2 ; 3).
Méthode de combinaison
La méthode de combinaison, parfois appelée méthode de réduction, implique de multiplier les deux membres d’une équation par un coefficient de manière à éliminer une des inconnues lorsqu’on additionne ou soustrait les deux équations. Cette méthode est très utile pour simplifier rapidement certaines situations.
🎯 Astuce :
Choisis judicieusement les coefficients pour simplifier le calcul, essaye de rendre les coefficients de l’une des inconnues opposés en valeur.
Application pratique et exemples supplémentaires
🔎 Exemple :
Considérons ce système :
- 4x + 2y = 14
- 3x + 5y = 11
Multiplions la première équation par 5 et la seconde par 2, nous avons alors :
- 20x + 10y = 70
- 6x + 10y = 22
En soustrayant, nous éliminons y et obtenons : 14x = 48, donc x = (frac{48}{14}) = (frac{24}{7}). En insérant cette valeur dans l’une des équations d’origine, tu peux résoudre pour y.
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Exercices de maths
Voici quelques exercices pour s’entraîner et consolider tes connaissances en résolvant des systèmes d’équations.
Résoudre un système d’équations par la méthode de substitution
Énoncé de l’exercice
Résous le système d’équations suivant à l’aide de la méthode de substitution :
1) (x + 2y = 8)
2) (3x – y = 2)
💡 Une astuce : Isoler une variable dans une des équations peut simplifier la tâche !
Instructions
- 🔍 Isoler une des variables dans une des équations. Conseil : Choisir celle qui rendra la substitution simple.
- 🔄 Remplace la variable isolée dans l’autre équation avec l’expression trouvée.
- ➗ Résous l’équation obtenue pour trouver la valeur de la première variable.
- 🔢 Substitue la valeur de la première variable dans l’expression isolée pour trouver l’autre variable.
- ✅ Vérifie tes solutions en les substituant dans les deux équations initiales.
Correction
🔍 Commençons par isoler une variable. Prenons la première équation : (x + 2y = 8).
Nous choisissons d’isoler (x) : (x = 8 – 2y).
🔄 Ensuite, substituons (x = 8 – 2y) dans la deuxième équation : (3x – y = 2).
Remplaçons (x) par (8 – 2y) : (3(8 – 2y) – y = 2).
➗ Résolvons l’équation :
(24 – 6y – y = 2).
Donc, (24 – 7y = 2), ce qui nous donne (7y = 22).
On en déduit que (y = frac{22}{7}).
🔢 Maintenant, substituons la valeur de (y) dans (x = 8 – 2y) pour trouver (x) :
(x = 8 – 2left(frac{22}{7}right) = frac{56}{7} – frac{44}{7} = frac{12}{7}).
✅ Vérifions les solutions :
Pour la première équation : (x + 2y = 8) devient :
(frac{12}{7} + 2left(frac{22}{7}right) = frac{12}{7} + frac{44}{7} = frac{56}{7} = 8).
Pour la deuxième équation : (3x – y = 2) devient :
(3left(frac{12}{7}right) – frac{22}{7} = frac{36}{7} – frac{22}{7} = frac{14}{7} = 2).
La solution du système est donc : ((x, y) = left(frac{12}{7}, frac{22}{7}right).)
Résoudre un système d’équations linéaires en 3ème
Énoncé de l’exercice
Dans cet exercice, nous allons résoudre un système d’équations comportant deux inconnues. Voici les équations que vous devez résoudre :
Équation 1 : 2x + 3y = 7 🌟
Équation 2 : x – y = 1 🌟
Question : Trouvez la solution (x ; y) de ce système ! Utilisez une méthode de résolution au choix 🤔.
Instructions
- 🔍 Identifiez les deux équations à résoudre.
- 💡 Choisissez une méthode pour résoudre ce système : substitution, combinaison, ou autre méthode que vous préférez.
- 🖊️ Si vous optez pour la méthode de substitution, isolez d’abord l’une des inconnues dans l’une des équations.
- 😊 Remplacez la valeur isolée dans l’autre équation et résolvez pour l’autre inconnue.
- 🔗 Une fois une inconnue trouvée, substituez cette valeur dans l’une des équations pour trouver l’autre. N’oubliez pas de vérifier vos solutions !
Correction
🟢 Étape 1 : Choisissons la méthode de substitution. Prenons l’équation 2 :
x – y = 1 et isolons x : x = y + 1
🟢 Étape 2 : Substituons x dans l’équation 1 :
2(y + 1) + 3y = 7
🟢 Étape 3 : Simplifions et résolvons pour y :
2y + 2 + 3y = 7
5y + 2 = 7
5y = 7 – 2
5y = 5
y = 1 🌟
🟢 Étape 4 : Remplaçons y dans x = y + 1 :
x = 1 + 1 = 2 🌟
🟢 Étape 5 : La solution du système est donc : (x = 2 ; y = 1) 🎉
🟢 Étape 6 : Vérification : Substituons x = 2 et y = 1 dans les deux équations pour confirmer notre solution
Équation 1 : 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7 ✔️
Équation 2 : 2 – 1 = 1 ✔️
Résolution de systèmes d’équations linéaires
Énoncé de l’exercice
Vous êtes un enquêteur mathématique 🕵️♂️ et vous devez résoudre le système d’équations suivant pour trouver le point d’intersection (s’il en existe un) de deux droites. Les équations sont les suivantes :
3x + 2y = 12
x – y = 1
✏️ Trouvez le couple solution (x ; y) du système en utilisant la méthode de substitution. Bonne chance ! 🍀
Instructions
- 🔍 Exprimez l’une des inconnues, par exemple, x, en fonction de y à partir de la deuxième équation.
- 🧐 Substituez cette expression dans la première équation pour éliminer x et résoudre pour y.
- 🤔 Calculez ensuite la valeur de x en substituant la valeur trouvée de y dans l’expression de l’étape 1.
- ✅ Vérifiez que les valeurs de x et y satisfont bien les deux équations initiales.
Correction
🌟 Commençons par exprimer x en fonction de y à partir de la deuxième équation :
x – y = 1 ⟹ x = y + 1
➡️ Maintenant, substituons x = y + 1 dans la première équation :
3(y + 1) + 2y = 12
3y + 3 + 2y = 12
5y + 3 = 12
🔍 En soustrayant 3 de chaque côté :
5y = 9
y = 9 / 5
🧮 Trouvons maintenant la valeur de x :
x = y + 1 = 9/5 + 1 = 14/5
💡 Vérifions dans les deux équations :
- Première équation : 3(14/5) + 2(9/5) = 42/5 + 18/5 = 60/5 = 12 ✔️
- Deuxième équation : 14/5 – 9/5 = 5/5 = 1 ✔️
Le couple solution est (x ; y) = (14/5 ; 9/5).
Pour toi, étudiant en classe de 3ème, maîtriser les systèmes d’équations est une étape clé. Ces outils te permettent de comprendre comment les équations interagissent entre elles pour définir le point d’intersection.
En utilisant des méthodes telles que la méthode de substitution, la méthode de comparaison, ou encore les combinaisons linéaires, tu développes ta capacité à résoudre des problèmes complexes avec logique et précision.
N’hésite pas à approfondir tes connaissances grâce aux méthodes graphiques et algébriques disponibles dans ton parcours scolaire pour rendre accessibles ces concepts qui te semblaient peut-être ardus au départ.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
