Tu sais déjà résoudre une équation à une inconnue. Mais dans beaucoup de problèmes, il y a deux grandeurs inconnues en jeu. Le prix d’un stylo et le prix d’un cahier, la longueur et la largeur d’un terrain, la vitesse d’un cycliste et celle d’un piéton. Pour trouver ces deux valeurs, une seule équation ne suffit pas : il en faut deux. C’est le principe des systèmes d’équations.
Ce chapitre te donne trois méthodes pour résoudre un système. Chacune a ses avantages selon la situation. Au brevet, on peut te demander d’utiliser l’une ou l’autre, parfois de comparer les résultats obtenus par deux méthodes différentes. Tu as déjà vu comment les fonctions affines mènent naturellement aux systèmes dans le chapitre sur les fonctions affines et systèmes. Ici, on va plus loin avec des techniques algébriques complètes.
Qu’est-ce qu’un système d’équations ?
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations que l’on doit résoudre simultanément. On cherche un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.
On écrit :
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
Le couple (x ; y) qui satisfait les deux équations est appelé la solution du système.
Exemple : Le système { x + y = 10 et { x − y = 4 a pour solution le couple (7 ; 3), car 7 + 3 = 10 et 7 − 3 = 4. Un seul des deux couples ne suffit pas : il faut que les deux équations soient vérifiées.
Un système peut avoir :
• Une solution unique : les deux droites se coupent en un seul point.
• Aucune solution : les deux droites sont parallèles (même coefficient directeur, ordonnées à l’origine différentes).
• Une infinité de solutions : les deux droites sont confondues (mêmes coefficients).
Méthode 1 : la substitution
C’est la méthode la plus naturelle. On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l’autre.
Étape 1 : Choisis une équation et isole une des deux inconnues (celle qui a le coefficient le plus simple).
Étape 2 : Remplace cette inconnue par son expression dans l’autre équation.
Étape 3 : Tu obtiens une équation à une seule inconnue. Résous-la.
Étape 4 : Remplace la valeur trouvée dans l’expression de l’étape 1 pour trouver la deuxième inconnue.
Exemple détaillé :
Résoudre le système { 2x + y = 7 et { x − y = 2.
Étape 1 : On isole y dans la première équation : y = 7 − 2x.
Étape 2 : On remplace y dans la deuxième équation : x − (7 − 2x) = 2.
Étape 3 : x − 7 + 2x = 2, donc 3x − 7 = 2, donc 3x = 9, donc x = 3.
Étape 4 : y = 7 − 2 × 3 = 7 − 6 = 1. La solution est (3 ; 1).
Vérification : 2 × 3 + 1 = 7 et 3 − 1 = 2 . C’est correct.
Méthode 2 : la combinaison (ou addition)
Cette méthode consiste à additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue. Elle est particulièrement efficace quand les coefficients d’une des inconnues sont opposés ou identiques.
Étape 1 : Multiplie une ou les deux équations par un nombre pour que les coefficients d’une inconnue soient opposés.
Étape 2 : Additionne les deux équations membre à membre. L’inconnue disparaît.
Étape 3 : Résous l’équation obtenue (une seule inconnue).
Étape 4 : Remplace dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre inconnue.
Exemple détaillé :
Résoudre le système { 3x + 2y = 16 et { 5x − 2y = 8.
Étape 1 : Les coefficients de y sont déjà opposés (+2 et −2). Pas besoin de multiplier.
Étape 2 : On additionne : (3x + 2y) + (5x − 2y) = 16 + 8, soit 8x = 24.
Étape 3 : x = 24 / 8 = 3.
Étape 4 : On remplace dans la première équation : 3 × 3 + 2y = 16, donc 9 + 2y = 16, donc 2y = 7, donc y = 3,5. La solution est (3 ; 3,5).
Vérification : 3 × 3 + 2 × 3,5 = 9 + 7 = 16 et 5 × 3 − 2 × 3,5 = 15 − 7 = 8 .
Système : { 2x + 3y = 12 et { 5x + 4y = 23.
Pour éliminer x, on multiplie la 1ère par 5 et la 2ème par (−2) :
{ 10x + 15y = 60
{ −10x − 8y = −46
On additionne : 7y = 14, donc y = 2.
Puis x = (12 − 3 × 2) / 2 = 6 / 2 = 3. Solution : (3 ; 2).
Méthode 3 : la résolution graphique
On l’a déjà vue avec les fonctions affines, mais rappelons-la dans le cadre des systèmes.
1. Transforme chaque équation sous la forme y = ax + b.
2. Trace les deux droites dans un repère.
3. Lis les coordonnées du point d’intersection.
Avantage : c’est visuel et rapide.
Inconvénient : la précision est limitée (valeurs non entières difficiles à lire).
Au brevet, on te donne souvent un repère déjà tracé avec les droites. Tu dois lire le point d’intersection et éventuellement vérifier par le calcul. Parfois c’est l’inverse : on te demande de tracer les droites toi-même.
Comment choisir la bonne méthode ?
| Situation | Méthode conseillée |
| Une inconnue est déjà isolée (y = …) | Substitution |
| Les coefficients d’une inconnue sont opposés ou égaux | Combinaison |
| On te donne un graphique | Graphique |
| Rien de particulier | Au choix (préfère la combinaison) |
En pratique, la combinaison est souvent la méthode la plus efficace au brevet. Elle évite les fractions intermédiaires et les erreurs de parenthèses qu’on rencontre avec la substitution.
Exercices d’application
Résous chaque système par substitution.
a) { y = 3x − 2
{ 2x + y = 8
b) { x = 4 − y
{ 3x + 2y = 9
Correction — Exercice 1
a) On remplace y dans la deuxième : 2x + (3x − 2) = 8 → 5x − 2 = 8 → 5x = 10 → x = 2.
Puis y = 3 × 2 − 2 = 4. Solution : (2 ; 4).
Vérif : 2 × 2 + 4 = 8
b) On remplace x dans la deuxième : 3(4 − y) + 2y = 9 → 12 − 3y + 2y = 9 → 12 − y = 9 → y = 3.
Puis x = 4 − 3 = 1. Solution : (1 ; 3).
Vérif : 3 × 1 + 2 × 3 = 3 + 6 = 9
Résous chaque système par combinaison.
a) { x + y = 9
{ x − y = 3
b) { 3x + 4y = 26
{ 3x + 2y = 18
Correction — Exercice 2
a) On additionne les deux équations : 2x = 12 → x = 6.
On remplace : 6 + y = 9 → y = 3. Solution : (6 ; 3).
Vérif : 6 − 3 = 3
b) On soustrait la 2ème de la 1ère : (3x + 4y) − (3x + 2y) = 26 − 18 → 2y = 8 → y = 4.
On remplace : 3x + 2 × 4 = 18 → 3x = 10 → x = 10/3.
Solution : (10/3 ; 4).
Vérif : 3 × 10/3 + 4 × 4 = 10 + 16 = 26
Résous par combinaison.
a) { 2x + 3y = 13
{ 4x − y = 5
b) { 5x − 2y = 1
{ 3x + 4y = 23
Correction — Exercice 3
a) On multiplie la 2ème par 3 : 12x − 3y = 15.
On additionne avec la 1ère : 2x + 3y + 12x − 3y = 13 + 15 → 14x = 28 → x = 2.
On remplace : 4 × 2 − y = 5 → 8 − y = 5 → y = 3. Solution : (2 ; 3).
Vérif : 2 × 2 + 3 × 3 = 4 + 9 = 13
b) On multiplie la 1ère par 2 : 10x − 4y = 2.
On additionne avec la 2ème : 10x − 4y + 3x + 4y = 2 + 23 → 13x = 25 → x = 25/13.
On remplace : 5 × 25/13 − 2y = 1 → 125/13 − 2y = 1 → 2y = 125/13 − 13/13 = 112/13 → y = 56/13.
Solution : (25/13 ; 56/13).
Vérif : 3 × 25/13 + 4 × 56/13 = 75/13 + 224/13 = 299/13 = 23
Résous chaque système et interprète le résultat.
a) { 2x + y = 5
{ 4x + 2y = 10
b) { x − 3y = 7
{ 2x − 6y = 5
Correction — Exercice 4
a) La 2ème équation est le double de la 1ère (on multiplie par 2 : 2 × (2x + y) = 2 × 5 → 4x + 2y = 10).
Les deux équations disent la même chose. Les droites sont confondues.
Il y a une infinité de solutions : tous les couples (x ; y) tels que 2x + y = 5.
b) On multiplie la 1ère par 2 : 2x − 6y = 14. Mais la 2ème dit 2x − 6y = 5.
On obtient 14 = 5, ce qui est impossible. Les droites sont parallèles.
Le système n’a aucune solution.
Au cinéma, un billet adulte coûte plus cher qu’un billet enfant. Une famille de 2 adultes et 3 enfants paie 39 €. Une autre famille de 1 adulte et 4 enfants paie 33 €.
a) Pose un système d’équations (a = prix adulte, e = prix enfant).
b) Résous le système par la méthode de ton choix.
c) Combien coûte un billet adulte ? Un billet enfant ?
Correction — Exercice 5
a) { 2a + 3e = 39
{ a + 4e = 33
b) Par substitution : on isole a dans la 2ème → a = 33 − 4e.
On remplace dans la 1ère : 2(33 − 4e) + 3e = 39 → 66 − 8e + 3e = 39 → −5e = −27 → e = 5,40.
Puis a = 33 − 4 × 5,40 = 33 − 21,60 = 11,40.
c) Un billet adulte coûte 11,40 € et un billet enfant coûte 5,40 €.
Vérif : 2 × 11,40 + 3 × 5,40 = 22,80 + 16,20 = 39
1 × 11,40 + 4 × 5,40 = 11,40 + 21,60 = 33
La somme de deux nombres est 45. Le triple du premier diminué du double du second vaut 30.
a) Traduis l’énoncé en un système d’équations.
b) Résous le système.
c) Vérifie que les deux conditions de l’énoncé sont bien satisfaites.
Correction — Exercice 6
a) Soit x le premier nombre et y le second.
{ x + y = 45
{ 3x − 2y = 30
b) Par combinaison : on multiplie la 1ère par 2 → 2x + 2y = 90.
On additionne avec la 2ème : 2x + 2y + 3x − 2y = 90 + 30 → 5x = 120 → x = 24.
Puis y = 45 − 24 = 21. Solution : x = 24 et y = 21.
c) Somme : 24 + 21 = 45 . Triple du premier − double du second : 3 × 24 − 2 × 21 = 72 − 42 = 30 . Ce type de problème mélange la mise en équation et la résolution de systèmes.
Un confiseur mélange des bonbons à 6 € le kg avec des bonbons à 10 € le kg pour obtenir 5 kg de mélange à 7,60 € le kg.
a) Pose le système (x = masse des bonbons à 6 €, y = masse des bonbons à 10 €).
b) Résous le système.
c) Combien de kilos de chaque type faut-il ?
Correction — Exercice 7
a) Masse totale : x + y = 5.
Prix total : 6x + 10y = 7,60 × 5 = 38.
Système : { x + y = 5 et { 6x + 10y = 38.
b) Par substitution : x = 5 − y.
6(5 − y) + 10y = 38 → 30 − 6y + 10y = 38 → 4y = 8 → y = 2.
Puis x = 5 − 2 = 3.
c) Il faut 3 kg de bonbons à 6 € et 2 kg de bonbons à 10 €.
Vérif : 6 × 3 + 10 × 2 = 18 + 20 = 38 €, soit 38/5 = 7,60 €/kg
Deux villes A et B sont distantes de 300 km. Un train part de A vers B à la vitesse v₁ km/h. En même temps, un autre train part de B vers A à la vitesse v₂ km/h. Ils se croisent au bout de 2 heures. On sait aussi que v₁ = v₂ + 30.
a) Traduis en système d’équations.
b) Calcule les vitesses v₁ et v₂.
c) À quelle distance de A se croisent-ils ?
Correction — Exercice 8
a) En 2 heures, les distances parcourues totalisent 300 km : 2v₁ + 2v₂ = 300, soit v₁ + v₂ = 150.
Et v₁ = v₂ + 30.
Système : { v₁ + v₂ = 150 et { v₁ = v₂ + 30.
b) On remplace v₁ dans la 1ère : (v₂ + 30) + v₂ = 150 → 2v₂ + 30 = 150 → 2v₂ = 120 → v₂ = 60.
Puis v₁ = 60 + 30 = 90.
v₁ = 90 km/h et v₂ = 60 km/h.
c) Le train parti de A parcourt en 2 heures : 90 × 2 = 180 km. Ils se croisent à 180 km de A.
Vérif : 180 + 120 = 300 km
Erreurs classiques et pièges du brevet
1. Oublier de distribuer le signe négatif : dans x − (3y + 2), le résultat est x − 3y − 2, pas x − 3y + 2. Attention aux parenthèses lors de la substitution.
2. Se tromper dans la multiplication : quand tu multiplies une équation par un nombre, multiplie TOUS les termes, y compris le terme constant. 3 × (2x + y = 5) donne 6x + 3y = 15.
3. Vérifier dans une seule équation : toujours vérifier le couple solution dans les DEUX équations du système.
4. Mal traduire l’énoncé : « le triple de x diminué de y » c’est 3x − y, pas 3(x − y). Relis l’énoncé mot par mot.
5. Confondre « pas de solution » et « j’ai fait une erreur » : si tu obtiens 0 = 7, c’est normal pour un système sans solution. Ne cherche pas à corriger.
FAQ — Les questions les plus posées
Quelle méthode choisir au brevet ?
Si l’énoncé te demande une méthode précise, utilise-la. Sinon, regarde la forme du système. Si une inconnue est déjà isolée, la substitution est rapide. Si les coefficients s’y prêtent, la combinaison est plus directe. Au final, les deux donnent le même résultat.
Peut-on résoudre un système avec des fractions ?
Oui. Les opérations sur les écritures fractionnaires s’appliquent normalement. Si les coefficients ou les résultats sont des fractions, ce n’est pas une erreur. Garde les fractions sous forme exacte plutôt que de passer en décimal arrondi.
Comment vérifier rapidement sa solution ?
Remplace x et y dans les deux équations initiales. Si tu obtiens les bons résultats des deux côtés, c’est gagné. Ça prend 30 secondes et ça peut sauver des points au brevet.
Un système peut-il avoir exactement deux solutions ?
Non. Un système de deux équations linéaires a toujours 0, 1 ou une infinité de solutions. C’est lié au fait que deux droites dans un plan ne peuvent se couper qu’en 0 ou 1 point, ou être confondues.
Est-ce que la méthode graphique suffit au brevet ?
La résolution graphique donne une réponse approximative. Au brevet, on te demande souvent de confirmer par le calcul. La lecture graphique seule ne rapporte généralement qu’une partie des points.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
