Comparer des nombres relatifs, c’est l’un des premiers chapitres de maths en 4ème. Si tu maîtrises déjà les nombres positifs, tu vas découvrir que les nombres négatifs introduisent des pièges redoutables. Le plus trompeur : avec les négatifs, « plus grand en valeur absolue » ne veut pas dire « plus grand ». Par exemple, −10 est plus petit que −2, même si 10 est plus grand que 2. Cet article te donne toutes les règles, toutes les méthodes et tous les réflexes pour comparer et ranger des nombres relatifs sans te tromper.
Rappel : qu’est-ce qu’un nombre relatif ?
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe (positif ou négatif) et une partie numérique (sa valeur absolue).
- Les nombres positifs sont supérieurs à zéro : +3, +7,5, +0,1. On écrit souvent 3 au lieu de +3.
- Les nombres négatifs sont inférieurs à zéro : −3, −7,5, −0,1.
- Zéro n’est ni positif ni négatif. C’est le nombre neutre, la frontière entre les positifs et les négatifs.
📐 À retenir
Tout nombre relatif se compose de deux parties : son signe (+ ou −) et sa valeur absolue (la distance à zéro). Par exemple, le nombre −5 a pour signe « − » et pour valeur absolue 5.
Nombres opposés
Deux nombres sont opposés s’ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires. Par exemple, +4 et −4 sont opposés. Leur somme vaut toujours zéro : (+4) + (−4) = 0.
Repérage sur la droite graduée
La droite graduée est l’outil fondamental pour visualiser les nombres relatifs. Elle s’étend à l’infini dans les deux sens, avec zéro au centre.
- Les nombres positifs sont à droite de zéro.
- Les nombres négatifs sont à gauche de zéro.
- Plus un nombre est à droite sur la droite graduée, plus il est grand.
Voici l’ordre sur la droite graduée :
… −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 …
💡 Astuce
Pour comparer deux nombres, place-les mentalement sur la droite graduée. Celui qui est le plus à droite est le plus grand. Cette méthode fonctionne dans tous les cas, y compris avec des décimaux négatifs.
Placer des nombres décimaux
Les nombres décimaux se placent aussi sur la droite graduée. Par exemple, −2,5 se trouve entre −3 et −2, et +1,3 se trouve entre +1 et +2. Le principe reste le même : plus c’est à droite, plus c’est grand.
Comparer deux nombres relatifs : les règles
📐 À retenir
Règle 1 : Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
Règle 2 : Tout nombre positif est supérieur ou égal à zéro.
Règle 3 : Tout nombre négatif est inférieur à zéro.
Règle 4 : Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs valeurs : le plus grand est celui qui a la plus grande valeur.
Règle 5 : Pour comparer deux nombres négatifs, on compare leurs valeurs absolues : le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
La règle 5 est celle qui pose le plus de problèmes. Elle mérite qu’on s’y attarde.
Comparer un positif et un négatif
C’est le cas le plus simple. La règle est sans exception :
Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
Peu importe la taille des nombres :
- +0,001 > −1 000 000
- +3 > −50
- 0 > −7
Même le plus petit nombre positif sera toujours plus grand que le plus grand nombre négatif. Sur la droite graduée, les positifs sont à droite de zéro, les négatifs à gauche. Un nombre à droite est toujours plus grand qu’un nombre à gauche.
Pour aller plus loin, retrouve notre cours sur multiplication de nombres relatifs.
✏️ Exercice rapide
Compare sans calculer : −45 et +2.
✅ Voir la correction
−45 est négatif, +2 est positif. Tout positif est supérieur à tout négatif. Donc −45 < +2.
Comparer deux nombres négatifs : le piège
C’est la partie la plus délicate. Avec les nombres négatifs, ton intuition te trompe.
Le principe
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro. C’est-à-dire celui dont la valeur absolue est la plus petite.
| Comparaison | Valeurs absolues | Résultat | Explication |
|---|---|---|---|
| −3 et −1 | 3 et 1 | −3 < −1 | −1 est plus proche de 0 |
| −7 et −2 | 7 et 2 | −7 < −2 | −2 est plus proche de 0 |
| −0,5 et −0,8 | 0,5 et 0,8 | −0,8 < −0,5 | −0,5 est plus proche de 0 |
| −100 et −1 | 100 et 1 | −100 < −1 | −1 est plus proche de 0 |
⚠️ Erreur fréquente
Penser que −10 > −2 parce que 10 > 2. C’est l’erreur la plus courante. Avec les négatifs, l’ordre est inversé par rapport aux valeurs absolues. −10 est plus éloigné de zéro que −2, donc −10 est plus petit. Pense à la température : −10°C est plus froid que −2°C.
L’analogie de la température
La température est un excellent moyen de comprendre les nombres négatifs. En hiver :
- −2°C est « moins froid » que −10°C, donc −2 > −10.
- −15°C est « plus froid » que −5°C, donc −15 < −5.
- +3°C est « plus chaud » que −20°C, donc +3 > −20.
Si tu hésites lors d’une comparaison, traduis les nombres en températures. Celui qui est « le plus chaud » est le plus grand.
Méthode systématique pour comparer deux négatifs
- Prends la valeur absolue de chacun.
- Compare les valeurs absolues.
- Inverse le sens de la comparaison.
Exemple : compare −4,7 et −3,2.
- Valeurs absolues : 4,7 et 3,2.
- 4,7 > 3,2.
- On inverse : −4,7 < −3,2.
Ranger dans l’ordre croissant ou décroissant
Ordre croissant
Ranger dans l’ordre croissant, c’est aller du plus petit au plus grand (de gauche à droite sur la droite graduée).
Ordre décroissant
Ranger dans l’ordre décroissant, c’est aller du plus grand au plus petit (de droite à gauche sur la droite graduée).
Méthode pour ranger une liste de nombres relatifs
- Sépare les nombres en trois groupes : négatifs, zéro (s’il est présent), positifs.
- Range les positifs entre eux (du plus petit au plus grand).
- Range les négatifs entre eux (attention à l’inversion).
- Assemble : les négatifs d’abord (dans l’ordre), puis zéro, puis les positifs.
Exemple
Range dans l’ordre croissant : +3 ; −7 ; −1 ; +5 ; 0 ; −4 ; +0,5.
Négatifs (valeurs absolues : 7, 1, 4) : −7 < −4 < −1.
Positifs : +0,5 < +3 < +5.
Résultat : −7 < −4 < −1 < 0 < +0,5 < +3 < +5.
💡 Astuce
Pour ne pas te tromper, dessine une droite graduée rapide sur ton brouillon et place les nombres dessus. C’est la méthode la plus sûre, surtout quand il y a beaucoup de nombres à ranger.
Valeur absolue et comparaison
Définition de la valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre relatif est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.
Ce point est approfondi dans notre cours sur cours sur les fractions.
- La valeur absolue de +5 est 5. On note |+5| = 5.
- La valeur absolue de −5 est 5. On note |−5| = 5.
- La valeur absolue de 0 est 0. On note |0| = 0.
📐 À retenir
La valeur absolue « supprime le signe ». Pour un nombre positif, la valeur absolue ne change rien. Pour un nombre négatif, la valeur absolue enlève le signe « − ». On note la valeur absolue avec deux barres verticales : |a|.
Lien entre valeur absolue et comparaison
La valeur absolue intervient souvent dans les comparaisons, surtout pour comparer deux nombres négatifs :
- Si a et b sont négatifs et |a| > |b|, alors a < b.
- Si a et b sont négatifs et |a| < |b|, alors a > b.
C’est exactement la règle de l’inversion qu’on a vue plus haut, formulée avec la notation de la valeur absolue.
Distance entre deux nombres
La distance entre deux nombres a et b sur la droite graduée se calcule avec la valeur absolue : distance = |a − b|.
Par exemple, la distance entre −3 et +5 est |−3 − 5| = |−8| = 8.
| Nombre | Valeur absolue | Distance à zéro |
|---|---|---|
| +8 | 8 | 8 unités à droite de 0 |
| −8 | 8 | 8 unités à gauche de 0 |
| +3,5 | 3,5 | 3,5 unités à droite de 0 |
| −3,5 | 3,5 | 3,5 unités à gauche de 0 |
| 0 | 0 | 0 (c’est le point de référence) |
Erreurs fréquentes
⚠️ Erreur fréquente
Comparer les négatifs « comme des positifs ». Écrire −8 > −3 parce que 8 > 3. C’est faux. Avec les négatifs, l’ordre s’inverse. −8 < −3 car −8 est plus loin de zéro (plus froid, plus bas).
⚠️ Erreur fréquente
Confondre le signe « − » du nombre et le signe « < » de la comparaison. Le signe « − » devant un nombre indique qu’il est négatif. Le signe « < » ou « > » sert à comparer. Ce sont deux choses différentes. Ne les mélange pas dans tes écritures.
⚠️ Erreur fréquente
Oublier que zéro n’est ni positif ni négatif. Zéro est à la frontière. Il est supérieur à tous les nombres négatifs et inférieur à tous les nombres positifs. Dire que « 0 est positif » est une erreur.
⚠️ Erreur fréquente
Inverser « croissant » et « décroissant ». Croissant = du plus petit au plus grand. Décroissant = du plus grand au plus petit. Pour s’en souvenir : « croissant » comme une plante qui « croît » (grandit).
⚠️ Erreur fréquente
Confondre valeur absolue et opposé. La valeur absolue de −5 est 5 (un nombre positif). L’opposé de −5 est +5 (un nombre relatif). Le résultat est le même dans ce cas, mais le concept est différent : la valeur absolue mesure une distance, l’opposé est un nombre de signe contraire.
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Compare les nombres suivants en utilisant le symbole < ou > :
a) −6 … −2
b) +4 … −9
c) −0,3 … −0,7
d) 0 … −5
✅ Voir la correction
a) −6 < −2. Les deux sont négatifs. |−6| = 6 > |−2| = 2, donc on inverse : −6 < −2.
b) +4 > −9. Un positif est toujours supérieur à un négatif.
c) −0,3 > −0,7. Les deux sont négatifs. |−0,3| = 0,3 < |−0,7| = 0,7, donc on inverse : −0,3 > −0,7.
d) 0 > −5. Zéro est supérieur à tout nombre négatif.
✏️ Exercice 2
Range dans l’ordre croissant : +2 ; −8 ; −3 ; +6 ; 0 ; −1 ; +0,5.
✅ Voir la correction
Séparons les groupes :
Négatifs : −8, −3, −1. Rangés : −8 < −3 < −1.
Zéro : 0.
Positifs : +0,5, +2, +6. Rangés : +0,5 < +2 < +6.
Pour completer, decouvre notre cours sur addition et soustraction de fractions.
Ordre croissant : −8 < −3 < −1 < 0 < +0,5 < +2 < +6.
✏️ Exercice 3
Donne la valeur absolue de chacun des nombres suivants : −12 ; +7 ; −0,4 ; 0 ; −100.
✅ Voir la correction
|−12| = 12
|+7| = 7
|−0,4| = 0,4
|0| = 0
|−100| = 100
La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle. On « enlève le signe moins » s’il y en a un.
✏️ Exercice 4
Voici les températures relevées dans cinq villes un matin de janvier : Paris −2°C, Moscou −15°C, Lisbonne +8°C, Stockholm −7°C, Rome +3°C. Range ces villes de la plus froide à la plus chaude.
✅ Voir la correction
Ranger de la plus froide à la plus chaude, c’est ranger les températures dans l’ordre croissant.
Négatifs : −15 < −7 < −2.
Positifs : +3 < +8.
Ordre croissant : −15 < −7 < −2 < +3 < +8.
De la plus froide à la plus chaude : Moscou (−15°C), Stockholm (−7°C), Paris (−2°C), Rome (+3°C), Lisbonne (+8°C).
✏️ Exercice 5
Trouve tous les nombres entiers relatifs x tels que −4 < x < 3.
✅ Voir la correction
On cherche les entiers strictement supérieurs à −4 et strictement inférieurs à 3.
Sur la droite graduée, les entiers entre −4 (exclu) et 3 (exclu) sont :
−3, −2, −1, 0, 1, 2.
Il y a 6 entiers relatifs qui vérifient cette condition. Attention : −4 et 3 sont exclus car les inégalités sont strictes (< et non ≤).
FAQ
Pourquoi dit-on que −3 est plus grand que −10 alors que 10 est plus grand que 3 ?
Parce que « plus grand » sur la droite graduée signifie « plus à droite ». Or −3 est à droite de −10 sur la droite graduée. La valeur absolue mesure l’éloignement par rapport à zéro, mais c’est la position sur la droite graduée qui détermine l’ordre. En termes de température, −3°C est plus chaud que −10°C, ce qui confirme que −3 > −10.
Zéro est-il positif ou négatif ?
Ni l’un ni l’autre. Zéro est le seul nombre qui n’est ni positif ni négatif. En revanche, il est à la fois supérieur ou égal à zéro (ce qui en fait un nombre « positif ou nul ») et inférieur ou égal à zéro (ce qui en fait un nombre « négatif ou nul »). Cette distinction est importante en maths.
Comment comparer des nombres relatifs avec des fractions ?
La méthode est la même. Par exemple, pour comparer −3/4 et −1/2, tu peux les mettre au même dénominateur (−3/4 et −2/4) puis comparer : −3/4 < −2/4 car 3/4 > 2/4 et on inverse pour les négatifs. Tu peux aussi convertir en décimaux : −0,75 < −0,5.
Existe-t-il un plus petit ou un plus grand nombre relatif ?
Non. Les nombres relatifs s’étendent à l’infini dans les deux sens. Il n’y a pas de « plus petit nombre négatif » ni de « plus grand nombre positif ». On peut toujours trouver un nombre encore plus petit (−1 000 000, −1 000 000 000…) ou encore plus grand (+1 000 000, +1 000 000 000…).
La comparaison de nombres relatifs sert-elle au brevet ?
Absolument. La comparaison de nombres relatifs est une compétence de base réutilisée dans de nombreux chapitres : résolution d’inéquations, lectures graphiques, intervalles, fonctions. Au brevet, tu peux retrouver cette compétence dans un exercice de repérage, dans l’étude du signe d’une expression, ou dans un problème concret (températures, altitudes, comptes bancaires).
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
