Les fractions, tu en fais depuis le primaire. Mais en 3ème, le niveau monte d’un cran. On te demande de jongler avec des additions, des multiplications, des divisions de fractions, parfois dans des expressions longues avec des priorités de calcul. Le tout sans calculatrice dans certains exercices du brevet. Si tu maîtrises les règles, c’est du calcul mécanique. Si tu les connais mal, chaque exercice devient un champ de mines.
Ce chapitre reprend toutes les opérations sur les écritures fractionnaires avec la rigueur attendue en 3ème. Tu verras que les fractions interviennent aussi dans la résolution d’équations et problèmes, dans le calcul avec les racines carrées, et dans beaucoup d’autres chapitres. C’est un outil transversal indispensable.
Rappels : vocabulaire et simplification
Une fraction s’écrit a/b où :
• a est le numérateur (en haut)
• b est le dénominateur (en bas, et b ≠ 0)
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre (leur PGCD) pour obtenir une fraction irréductible.
Exemple : 12/18 = (12 ÷ 6) / (18 ÷ 6) = 2/3. La fraction 2/3 est irréductible.
Au brevet, on te demande presque toujours de donner le résultat sous forme de fraction irréductible. Oublie ça et tu perds des points, même si le calcul est juste.
Pour simplifier une fraction, cherche le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
• Si les deux sont pairs, divise par 2 (et recommence si nécessaire).
• Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre est divisible par 3.
• Si les deux se terminent par 0 ou 5, divise par 5.
Tu peux aussi faire des simplifications successives : 24/36 → 12/18 → 6/9 → 2/3.
Addition et soustraction de fractions
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.
a/c + b/c = (a + b)/c
a/c − b/c = (a − b)/c
Si les dénominateurs sont différents, on les met au même dénominateur en cherchant le PPCM (plus petit commun multiple).
Pour calculer 3/4 + 5/6 :
Étape 1 : Cherche le PPCM de 4 et 6. Les multiples de 4 : 4, 8, 12… Les multiples de 6 : 6, 12… Le PPCM est 12.
Étape 2 : Transforme chaque fraction : 3/4 = 9/12 (×3) et 5/6 = 10/12 (×2).
Étape 3 : Additionne : 9/12 + 10/12 = 19/12.
Étape 4 : Simplifie si possible. Ici, 19/12 est déjà irréductible.
FAUX : 2/3 + 1/5 = 3/8 (on n’additionne JAMAIS les dénominateurs !)
JUSTE : 2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15.
Multiplication de fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
Pas besoin de même dénominateur pour multiplier. C’est plus simple que l’addition.
Exemples :
3/4 × 2/5 = (3 × 2) / (4 × 5) = 6/20 = 3/10.
7/3 × 9/14 = (7 × 9) / (3 × 14) = 63/42 = 3/2 (on simplifie par 21).
Avant de multiplier, tu peux simplifier en croix pour éviter les grands nombres.
Exemple : 8/15 × 5/12.
On simplifie 8 et 12 par 4 → 2/15 × 5/3.
On simplifie 15 et 5 par 5 → 2/3 × 1/3 = 2/9.
C’est beaucoup plus rapide que de calculer (8 × 5) / (15 × 12) = 40/180, puis de simplifier.
Division de fractions
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)
L’inverse de c/d est d/c (on retourne la fraction). Attention : c ≠ 0.
Exemples :
3/4 ÷ 2/7 = 3/4 × 7/2 = 21/8.
5/6 ÷ 10/3 = 5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4.
On inverse uniquement la fraction qui est APRÈS le signe ÷. Pas les deux.
FAUX : 3/4 ÷ 2/5 = 4/3 × 5/2 (on a inversé les deux !)
JUSTE : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
Fractions et nombres relatifs
En 3ème, les fractions ont souvent des numérateurs ou dénominateurs négatifs. Les règles de signes s’appliquent.
• (−a)/b = a/(−b) = −(a/b) : un signe négatif peut être placé au numérateur, au dénominateur, ou devant la fraction.
• (−a)/(−b) = a/b : deux signes négatifs s’annulent.
• Pour la multiplication : (+)(+) = (+), (−)(−) = (+), (+)(−) = (−), (−)(+) = (−).
Exemple : (−3/5) × (−10/9) = (+30/45) = 2/3. Deux négatifs donnent un résultat positif.
Exercices d’application
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
a) 2/3 + 5/6
b) 7/4 − 3/8
c) 1/2 + 2/3 + 1/6
d) 5/9 − 1/3 + 2/9
Correction — Exercice 1
a) 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2.
b) 7/4 − 3/8 = 14/8 − 3/8 = 11/8 (irréductible).
c) 1/2 + 2/3 + 1/6. PPCM de 2, 3, 6 = 6.
3/6 + 4/6 + 1/6 = 8/6 = 4/3.
d) 5/9 − 1/3 + 2/9 = 5/9 − 3/9 + 2/9 = 4/9.
Calcule et simplifie.
a) 3/5 × 10/9
b) 7/12 × 4/21
c) (−2/3) × 6/5
d) 8/15 × 25/16
Correction — Exercice 2
a) 3/5 × 10/9. Simplification croisée : 3 et 9 par 3 → 1/5 × 10/3. Puis 10 et 5 par 5 → 1/1 × 2/3 = 2/3.
b) 7/12 × 4/21. Simplifie 7 et 21 par 7 → 1/12 × 4/3. Simplifie 4 et 12 par 4 → 1/3 × 1/3 = 1/9.
c) (−2/3) × 6/5. Simplifie 2 et 6 par 2 → (−1/3) × 3/5 → (−1/1) × 1/5 = −2/5.
Vérifions autrement : (−2 × 6) / (3 × 5) = −12/15 = −4/5. Reprenons : (−2/3) × (6/5) = −12/15 = −4/5.
d) 8/15 × 25/16. Simplifie 8 et 16 par 8 → 1/15 × 25/2. Simplifie 25 et 15 par 5 → 1/3 × 5/2 = 5/6.
Calcule et simplifie.
a) 4/7 ÷ 2/3
b) 5/8 ÷ 15/4
c) (−3/4) ÷ (−9/8)
d) 7 ÷ 2/5
Correction — Exercice 3
a) 4/7 ÷ 2/3 = 4/7 × 3/2 = 12/14 = 6/7.
b) 5/8 ÷ 15/4 = 5/8 × 4/15 = 20/120 = 1/6.
c) (−3/4) ÷ (−9/8) = (−3/4) × (−8/9) = 24/36 = 2/3 (positif car − × − = +).
d) 7 ÷ 2/5 = 7/1 × 5/2 = 35/2. Diviser par une fraction plus petite que 1 donne un résultat plus grand.
Calcule en respectant les priorités opératoires.
a) 1/2 + 3/4 × 2/3
b) (5/6 − 1/3) × 12/5
c) 2/3 ÷ (1/4 + 1/2)
d) 3/5 × 2/3 + 1/5 ÷ 2
Correction — Exercice 4
a) La multiplication est prioritaire : 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
Puis 1/2 + 1/2 = 1.
b) D’abord les parenthèses : 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
Puis 1/2 × 12/5 = 12/10 = 6/5.
c) D’abord les parenthèses : 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4.
Puis 2/3 ÷ 3/4 = 2/3 × 4/3 = 8/9.
d) Multiplications et divisions d’abord :
3/5 × 2/3 = 6/15 = 2/5.
1/5 ÷ 2 = 1/5 × 1/2 = 1/10.
Puis 2/5 + 1/10 = 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2.
Calcule et simplifie.
a) (−5/8) + 3/4
b) (−2/3) − (−5/6)
c) (−7/10) × (−5/14)
d) 4/9 ÷ (−8/3)
Correction — Exercice 5
a) −5/8 + 3/4 = −5/8 + 6/8 = 1/8.
b) −2/3 − (−5/6) = −2/3 + 5/6 = −4/6 + 5/6 = 1/6.
c) (−7/10) × (−5/14) = 35/140 = 1/4 (positif : − × − = +).
d) 4/9 ÷ (−8/3) = 4/9 × (−3/8) = −12/72 = −1/6.
Léa mange 1/4 d’une tarte. Ensuite, Tom mange 1/3 de ce qui reste. Quelle fraction de la tarte reste-t-il ?
Correction — Exercice 6
Après Léa, il reste 1 − 1/4 = 3/4 de la tarte.
Tom mange 1/3 de 3/4 : 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4.
Il reste donc 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2.
Il reste la moitié de la tarte. Attention : Tom mange 1/3 de ce qui reste, pas 1/3 de la tarte entière.
Un réservoir contient 240 litres d’eau. On utilise d’abord les 2/5 du contenu, puis les 3/8 de ce qui reste.
a) Combien de litres utilise-t-on lors de la première utilisation ?
b) Combien de litres reste-t-il après la première utilisation ?
c) Combien de litres utilise-t-on lors de la deuxième utilisation ?
d) Quelle fraction du réservoir initial reste-t-il au final ?
Correction — Exercice 7
a) 2/5 × 240 = 480/5 = 96 litres.
b) 240 − 96 = 144 litres (ou 3/5 × 240 = 144).
c) 3/8 × 144 = 432/8 = 54 litres.
d) Il reste 144 − 54 = 90 litres.
Fraction : 90/240 = 9/24 = 3/8.
Vérification avec les fractions : il reste (1 − 2/5) × (1 − 3/8) = 3/5 × 5/8 = 15/40 = 3/8. C’est cohérent.
Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible :
A = (3/4 − 1/6) ÷ (2/3 + 1/2)
B = 5/7 × 14/15 − 1/3
Correction — Exercice 8
Calcul de A :
Numérateur : 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
Dénominateur : 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6.
A = (7/12) ÷ (7/6) = 7/12 × 6/7 = 42/84 = 1/2.
Calcul de B :
5/7 × 14/15 = 70/105 = 2/3.
B = 2/3 − 1/3 = 1/3.
Résous chaque équation.
a) x/3 + 1/4 = 7/12
b) 2x/5 − 3/10 = 1/2
c) (3x + 1)/4 = 2
Correction — Exercice 9
a) x/3 + 1/4 = 7/12. On met au même dénominateur (12) :
4x/12 + 3/12 = 7/12 → 4x + 3 = 7 → 4x = 4 → x = 1.
b) 2x/5 − 3/10 = 1/2. Dénominateur commun : 10.
4x/10 − 3/10 = 5/10 → 4x − 3 = 5 → 4x = 8 → x = 2.
c) (3x + 1)/4 = 2. On multiplie par 4 :
3x + 1 = 8 → 3x = 7 → x = 7/3.
Les fractions dans les équations, c’est un classique du brevet qui mélange ce chapitre avec la résolution d’équations.
Fractions et puissances
(a/b)² = a²/b²
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Exemples :
(2/3)² = 4/9
(−3/5)² = 9/25 (le carré est toujours positif)
(1/2)³ = 1/8
Les fractions élevées au carré reviennent souvent dans les exercices sur la factorisation avec les identités remarquables. Par exemple, (x − 2/3)² = x² − 4x/3 + 4/9.
Astuces pour le brevet
1. Résultat irréductible. Toujours simplifier ta fraction finale. Divise par le PGCD.
2. Même dénominateur pour + et − uniquement. Pour × et ÷, tu n’en as pas besoin.
3. Simplification croisée avant de multiplier. Ça évite les grands nombres et les erreurs de calcul.
4. Diviser = multiplier par l’inverse. Retourne la deuxième fraction et change ÷ en ×.
5. Vérifie tes signes. Compte le nombre de signes négatifs : un nombre pair donne +, un nombre impair donne −.
FAQ — Les questions les plus posées
Faut-il toujours donner une fraction et jamais un nombre décimal ?
Au brevet, sauf indication contraire, le résultat sous forme de fraction irréductible est préféré. Les décimaux sont acceptés quand ils sont exacts (0,5 pour 1/2), mais les fractions montrent que tu maîtrises le calcul fractionnaire.
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Si le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible. Vérifie en divisant par 2, 3, 5, 7… Si aucune division ne marche pour les deux, c’est bon.
Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro ?
Diviser par 0 n’a pas de sens mathématique. Si tu obtiens un dénominateur nul, c’est que la fraction n’existe pas pour cette valeur. C’est un cas qu’on rencontre aussi avec les fonctions : f(x) = 1/x n’est pas définie pour x = 0.
Quelle est la différence entre une fraction et un quotient ?
Techniquement, c’est la même chose. a/b est le quotient de a par b. On parle de « fraction » quand a et b sont des entiers, et de « quotient » de manière plus générale. Dans les deux cas, les règles de calcul sont identiques.
Est-ce que 5 est une fraction ?
Oui. Tout nombre entier peut s’écrire sous forme de fraction : 5 = 5/1. C’est utile quand tu dois calculer 5 ÷ 2/3 : tu écris 5/1 × 3/2 = 15/2.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
