Droites remarquables (particulières) du triangle 5ème

En 5ème, tu apprends les quatre droites remarquables d’un triangle : la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice. Chacune a sa propre définition, sa propre construction et son propre point remarquable. Ces notions sont fondamentales en géométrie et reviennent régulièrement au brevet. Dans ce cours complet, tu vas apprendre à les distinguer, à les construire avec précision, et à comprendre leurs propriétés. Tu découvriras aussi comment ces droites se comportent dans les triangles particuliers (isocèle, équilatéral, rectangle) et ce qu’est la droite d’Euler, un résultat élégant qui relie trois des quatre points remarquables sur une même droite.

La médiane

Définition

Dans un triangle ABC, la médiane issue de A passe par A et par le milieu M du côté [BC]. La médiane issue de B relie B au milieu du côté [AC]. La médiane issue de C relie C au milieu du côté [AB].

Attention : la médiane ne passe pas forcément par le milieu du triangle au sens visuel. Elle relie un sommet au milieu du côté opposé, point final. Elle n’est pas non plus perpendiculaire au côté opposé (sauf cas particulier).

Construction

Pour construire la médiane issue de A dans le triangle ABC :

1. Mesure le côté [BC] avec ta règle graduée.
2. Place le milieu M de [BC] (divise la longueur par 2).
3. Trace la droite (AM) avec ta règle.

Tu peux aussi trouver le milieu M au compas : trace deux arcs de cercle de même rayon depuis B et C. Les deux points d’intersection des arcs définissent la médiatrice de [BC], et le milieu M est à l’intersection avec [BC].

Le centre de gravité

Les trois médianes d’un triangle se coupent toujours en un même point, appelé le centre de gravité, noté souvent G.

Le centre de gravité possède une propriété remarquable : il divise chaque médiane dans le rapport 2/3 depuis le sommet et 1/3 depuis le milieu du côté. Autrement dit, si la médiane issue de A mesure 9 cm, alors AG = 6 cm et GM = 3 cm. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la construction d’un triangle.

Le centre de gravité est aussi le point d’équilibre du triangle : si tu découpes un triangle dans du carton et que tu poses la pointe d’un crayon exactement sur le centre de gravité, le triangle tient en équilibre.

La hauteur

Définition

Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est perpendiculaire à la droite (BC). Le pied de cette hauteur, noté H, est le point de (BC) tel que (AH) ⊥ (BC).

Point important : dans un triangle obtusangle (avec un angle obtus), le pied de certaines hauteurs tombe en dehors du triangle, sur le prolongement d’un côté. C’est une situation qui déstabilise beaucoup d’élèves mais qui est parfaitement normale. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la somme des angles d’un triangle.

Construction

Pour construire la hauteur issue de A :

1. Place ton équerre sur le côté [BC] (ou son prolongement).
2. Fais glisser l’équerre le long de (BC) jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par le sommet A.
3. Trace la droite perpendiculaire passant par A.
4. Marque le pied H avec un petit carré pour indiquer l’angle droit.

L’orthocentre

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent toujours en un même point, appelé l’orthocentre, noté souvent H (à ne pas confondre avec le pied d’une hauteur).

L’orthocentre a une position variable selon le type de triangle :

• Dans un triangle acutangle (tous les angles aigus) : l’orthocentre est à l’intérieur du triangle.
• Dans un triangle obtusangle (un angle obtus) : l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
• Dans un triangle rectangle : l’orthocentre est confondu avec le sommet de l’angle droit.

La médiatrice

Définition

La médiatrice du côté [BC] passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à (BC). Attention : la médiatrice ne passe pas par un sommet du triangle (sauf cas particulier du triangle isocèle).

La propriété fondamentale de la médiatrice : si un point P appartient à la médiatrice de [BC], alors PB = PC. Réciproquement, si PB = PC, alors P appartient à la médiatrice de [BC].

Construction

Pour construire la médiatrice de [BC] au compas et à la règle :

1. Ouvre ton compas à un écartement supérieur à la moitié de BC.
2. Trace un arc de cercle centré en B.
3. Sans changer l’écartement, trace un arc de cercle centré en C.
4. Les deux arcs se coupent en deux points. Trace la droite passant par ces deux points : c’est la médiatrice de [BC].

Le centre du cercle circonscrit

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent toujours en un même point, appelé le centre du cercle circonscrit, noté souvent O. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la symétrie centrale.

Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son centre O est équidistant des trois sommets : OA = OB = OC = R (rayon du cercle circonscrit).

Comme pour l’orthocentre, la position de O dépend du triangle :

• Triangle acutangle : O est à l’intérieur.
• Triangle obtusangle : O est à l’extérieur.
• Triangle rectangle : O est au milieu de l’hypoténuse.

La bissectrice

Définition

Dans un triangle ABC, la bissectrice de l’angle A partage l’angle BAC en deux angles égaux. Si l’angle BAC mesure 70°, alors chacun des deux angles formés mesure 35°.

La propriété fondamentale de la bissectrice : tout point de la bissectrice d’un angle est à égale distance des deux côtés de cet angle (distance mesurée perpendiculairement aux côtés).

Construction

Pour construire la bissectrice de l’angle A au compas :

1. Trace un arc de cercle centré en A qui coupe les deux côtés de l’angle. Appelle ces points d’intersection P et Q.
2. Trace un arc de cercle centré en P (rayon quelconque mais suffisant).
3. Trace un arc de cercle centré en Q avec le même rayon.
4. Les deux arcs se coupent en un point R. La demi-droite [AR) est la bissectrice de l’angle A.

Tu peux aussi utiliser un rapporteur : mesure l’angle, divise par 2, et trace la demi-droite correspondante.

Le centre du cercle inscrit

Les trois bissectrices d’un triangle se coupent toujours en un même point, appelé le centre du cercle inscrit, noté souvent I. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la construction de la médiatrice en 6ème.

Le cercle inscrit est le plus grand cercle contenu entièrement à l’intérieur du triangle. Il est tangent aux trois côtés. Son centre I est toujours situé à l’intérieur du triangle, quel que soit le type de triangle.

Tableau récapitulatif des 4 droites

Droite	Définition	Point remarquable	Propriété du point
Médiane	Relie un sommet au milieu du côté opposé	Centre de gravité G	Divise chaque médiane en 2/3 et 1/3
Hauteur	Perpendiculaire au côté opposé passant par un sommet	Orthocentre H	Intersection des 3 hauteurs
Médiatrice	Perpendiculaire à un côté passant par son milieu	Centre du cercle circonscrit O	Équidistant des 3 sommets (OA = OB = OC)
Bissectrice	Demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux	Centre du cercle inscrit I	Équidistant des 3 côtés

Cas des triangles particuliers

Dans certains triangles, plusieurs droites remarquables se confondent. C’est une source fréquente de questions en contrôle.

Le triangle isocèle

Dans un triangle isocèle en A (avec AB = AC), les quatre droites remarquables issues du sommet principal A (ou relatives au côté [BC]) sont confondues :

• La médiane issue de A passe par le milieu de [BC].
• La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC].
• La médiatrice de [BC] passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à [BC].
• La bissectrice de l’angle A se confond avec les précédentes.

Dans un triangle isocèle en A, la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice relatives au sommet principal A (et au côté [BC]) forment une seule et même droite. C’est l’axe de symétrie du triangle isocèle.

En revanche, les droites issues des sommets B ou C ne sont pas confondues entre elles.

Le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets. Donc, pour chaque sommet, les quatre droites remarquables se confondent. Le triangle équilatéral possède donc 3 axes de symétrie, et ses quatre points remarquables (G, H, O, I) sont tous confondus en un seul point, le centre du triangle.

Ce point central est à la fois le centre de gravité, l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.

Le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle en A :

• L’orthocentre est confondu avec le sommet A (sommet de l’angle droit), car les deux côtés de l’angle droit sont déjà des hauteurs.
• Le centre du cercle circonscrit est au milieu de l’hypoténuse [BC]. C’est une conséquence directe du fait que l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
• Le centre de gravité et le centre du cercle inscrit sont à des positions distinctes.

La droite d’Euler

Voici un résultat que la plupart des cours de 5ème ne mentionnent pas, mais qui est trop beau pour être ignoré.

Le mathématicien suisse Leonhard Euler a démontré en 1765 un théorème surprenant : dans tout triangle non équilatéral, trois des quatre points remarquables sont alignés. Plus précisément, le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O sont situés sur une même droite, appelée la droite d’Euler.

De plus, le centre de gravité G est situé entre O et H, et il divise le segment [OH] dans un rapport bien précis : OG = (1/3) × OH. Autrement dit, G est deux fois plus proche de O que de H.

Le centre du cercle inscrit I n’est, en général, pas sur la droite d’Euler (sauf dans le cas du triangle isocèle, où la droite d’Euler est l’axe de symétrie).

Dans le cas particulier du triangle équilatéral, les quatre points sont confondus, donc la droite d’Euler n’est pas définie (ou plutôt, elle se réduit à un point).

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Voir la correction

La droite (AM) relie le sommet A au milieu M du côté opposé [BC]. C’est la définition de la médiane issue de A.

Attention : ce n’est pas une médiatrice (car on ne sait pas si (AM) est perpendiculaire à (BC)), ni une hauteur (même raison).

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Par définition, tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des deux extrémités de ce segment. Donc si P est sur la médiatrice de [AB] et PA = 7 cm, alors PB = 7 cm.

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Le centre de gravité divise chaque médiane dans le rapport 2/3 depuis le sommet.

AG = (2/3) × 12 = 8 cm.

GM = (1/3) × 12 = 4 cm.

Vérification : AG + GM = 8 + 4 = 12 cm. C’est correct.

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Dans un triangle rectangle en B :

L’orthocentre est le point d’intersection des hauteurs. Les côtés [BA] et [BC] forment l’angle droit, donc ils sont eux-mêmes deux des hauteurs. Leur intersection est le point B. L’orthocentre est donc confondu avec le sommet B.

Le centre du cercle circonscrit est au milieu de l’hypoténuse [AC]. En effet, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.

Voir la correction

Le triangle ABC est équilatéral, donc AB = AC = BC = 6 cm. Il est en particulier isocèle en A (AB = AC).

Dans un triangle isocèle en A, la médiane issue de A, la hauteur issue de A, la médiatrice de [BC] et la bissectrice de l’angle A sont confondues. Voici pourquoi :

Médiane issue de A : elle relie A au milieu M de [BC]. Comme M est à 3 cm de B et 3 cm de C.

Hauteur issue de A : puisque AB = AC, le triangle ABM et le triangle ACM sont symétriques. Donc (AM) est perpendiculaire à (BC). C’est donc aussi la hauteur.

Médiatrice de [BC] : (AM) passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à [BC]. C’est donc aussi la médiatrice de [BC].

Bissectrice de l’angle A : par symétrie du triangle isocèle, les angles BAM et CAM sont égaux. Donc (AM) est aussi la bissectrice de l’angle A.

Ces quatre droites sont donc une seule et même droite : (AM).

FAQ

Comment différencier rapidement les 4 droites remarquables ?

La médiane va d’un sommet au milieu du côté opposé (pas de perpendicularité). La hauteur est perpendiculaire à un côté et part d’un sommet (pas de milieu). La médiatrice est perpendiculaire à un côté et passe par son milieu (ne part pas d’un sommet). La bissectrice coupe un angle en deux (ne concerne pas les côtés directement, mais les angles).

Pourquoi les 3 droites de chaque type se coupent-elles toujours en un même point ?

C’est un résultat de géométrie qu’on démontre rigoureusement au lycée ou à l’université. On dit que les trois droites sont concourantes. Pour chaque type de droite, il existe une démonstration qui prouve que le point d’intersection de deux des trois droites appartient nécessairement à la troisième. C’est une propriété fondamentale des triangles.

Le centre de gravité est-il toujours à l’intérieur du triangle ?

Oui, toujours. Quel que soit le triangle (acutangle, obtusangle, rectangle, isocèle, équilatéral), le centre de gravité G est situé à l’intérieur du triangle. C’est le seul des quatre points remarquables (avec le centre du cercle inscrit) à avoir cette propriété dans tous les cas.

Peut-on construire le cercle inscrit et le cercle circonscrit d’un même triangle ?

Oui, tout triangle possède à la fois un cercle inscrit (tangent aux trois côtés, centré en I) et un cercle circonscrit (passant par les trois sommets, centré en O). Le cercle inscrit est toujours plus petit que le cercle circonscrit. Pour les construire, il faut tracer les bissectrices (pour I) et les médiatrices (pour O).

La droite d’Euler existe-t-elle dans tous les triangles ?

Elle existe dans tous les triangles non équilatéraux. Dans un triangle équilatéral, les points G, H et O sont confondus (en un seul point), donc on ne peut pas tracer de droite passant par des points distincts. Dans un triangle isocèle, la droite d’Euler est confondue avec l’axe de symétrie. Dans tous les autres triangles, elle est une droite bien distincte qui porte les trois points G, H et O, avec G situé au tiers de [OH] en partant de O.