Triangle rectangle et cercle circonscrit – 4ème

Comment montrer qu’un triangle est rectangle dans un cercle circonscrit? As-tu déjà réfléchi à pourquoi la médiane relative à l’hypoténuse d’un triangle rectangle a une mesure spéciale? Cela te permet de découvrir comment ce triangle et son cercle circonscrit interagissent.

Triangles rectangles et Pythagore?

Les triangles rectangles sont liés au théorème de Pythagore et les cercles. Dans un triangle rectangle, un des angles est égal à 90 degrés. C’est ce qui le rend si spécial ! En travaillant ce type de triangle, tu découvriras qu’il a une relation étroite avec le cercle circonscrit.

Qu’est-ce qu’un cercle circonscrit ?

Un cercle circonscrit est un cercle qui passe par tous les sommets d’un triangle. Pour les triangles rectangles, il existe une particularité surprenante : le centre du cercle est situé au milieu de l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit. Cette propriété signifie que l’hypoténuse est également le diamètre du cercle! Ce lien unique simplifie de nombreuses constructions géométriques.

Le théorème du cercle circonscrit

Dans les triangles rectangles, le théorème du cercle circonscrit est d’une grande utilité. Il énonce que le centre de ce cercle est le milieu de l’hypoténuse. En d’autres termes, si tu as un triangle ABC rectangle en A, alors le centre du cercle est le milieu du segment [BC]. Pour le visualiser, imagine un cercle passant par A, B, et C. Ce cercle est le cercle circonscrit, et son diamètre est l’hypoténuse [BC]. Recours à ce théorème pour réaliser des constructions et comprendre les propriétés des triangles!

Considérons un triangle ABC où l’angle en A est droit et [BC] est l’hypoténuse. Suivant le théorème du cercle circonscrit, trace un cercle ayant [BC] pour diamètre. Tu verras que le point A sera sur ce cercle! Cette configuration te révèle visuellement comment fonctionne le théorème. Si tu veux essayer cela par toi-même, commence par tracer le triangle, puis dessine le cercle autour.

Une manière pratique de vérifier qu’un triangle est rectangle est de s’assurer que son hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit. Cela te permettra de valider rapidement tes constructions géométriques. N’hésite pas à tracer des médiatrices pour trouver le centre du cercle autour d’un triangle. Les médiatrices des côtés d’un triangle se croisent toujours au centre de son cercle circonscrit. Si cela t’intrigue, consulte le cours sur les médiatrices et le cercle circonscrit pour en apprendre davantage!

Pour continuer ton travail sur les triangles rectangles et le cercle circonscrit, visite cette ressource interactive qui te permettra de t’exercer avec des exercices et de renforcer ta compréhension à travers des exemples pratiques.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour t’entraîner et approfondir ta compréhension des triangles rectangles et du cercle circonscrit.

Identifier le cercle circonscrit d’un triangle rectangle

Énoncé de l’exercice

Considère un triangle ABC rectangle en A. Trouve le centre du cercle circonscrit de ce triangle. Indice : rappelle-toi que le centre d’un cercle circonscrit à un triangle rectangle est toujours au milieu de son hypoténuse ! 🔍

Question : Où se trouve le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si [BC] est l’hypoténuse ? ✨

Instructions

1. 🔍 Identifie l’hypoténuse du triangle ABC.
2. ✏️ Calcule le milieu de cette hypoténuse.
3. 💡 Vérifie si ce point est le centre du cercle circonscrit en te basant sur la propriété des triangles rectangles.

• Rappelle-toi : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.

Correction

🔍 Étape 1 : Le triangle ABC est donné rectangle en A, donc [BC] est l’hypoténuse.

✏️ Étape 2 : Calculons le milieu de l’hypoténuse [BC]. Si les coordonnées de B sont (x₁, y₁) et celles de C sont (x₂, y₂), alors le milieu 𝑂 est :
O ( ((x₁ + x₂) / 2), ((y₁ + y₂) / 2) ).

💡 Étape 3 : Par la propriété, dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est bien le centre du cercle circonscrit. Ainsi, le point 𝑂 est effectivement le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Réponse finale : Le centre du cercle circonscrit est le point 𝑂, milieu de [BC].

Exercice sur le triangle rectangle et le cercle circonscrit

Énoncé de l’exercice

Considérons un triangle ABC où AB = 6 cm, AC = 8 cm, et BC = 10 cm. 👀 Est-ce que ce triangle est un triangle rectangle ? Si oui, prouve-le et détermine le centre de son cercle circonscrit. Indice : Vérifie avec le théorème de Pythagore. 🔍

Instructions

1. 🔎 Vérifie si le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.
2. ✍️ Calcule la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés.
3. 📏 Compare cette somme avec le carré du plus grand côté.
4. 📍 Identifie le centre du cercle circonscrit si ABC est un triangle rectangle. Le centre est le milieu de l’hypoténuse.

Correction

🧮 Pour vérifier si le triangle est rectangle, utilisons le théorème de Pythagore. Selon ce théorème, si ABC est rectangle en A, alors :

AB² + AC² = BC².

⚙️ Calculons: AB² = 6² = 36 et AC² = 8² = 64.

🔍 Somme des carrés : 36 + 64 = 100.

➗ Comparons : Le plus grand côté est BC = 10 cm, donc BC² = 10² = 100.

✅ Nous voyons que : 36 + 64 = 100 et BC² = 100. Donc, AB² + AC² = BC², ce qui signifie que le triangle ABC est bien un triangle rectangle.

📍 Pour trouver le centre du cercle circonscrit, notons que lorsque le triangle est rectangle, le centre est le milieu de l’hypoténuse.

➡️ L’hypoténuse étant BC, le centre du cercle circonscrit est le milieu de BC, soit le point dont les coordonnées sont la moyenne des coordonnées de B et C. Comme il s’agit d’un exercice sans schéma, supposons que B est à l’origine et C est en 10 en ligne droite pour faciliter la compréhension.

🎉 Ainsi, le centre du cercle circonscrit est le point milieu de BC.

Exercice cercle circonscrit d’un triangle rectangle

Énoncé de l’exercice

Dans un triangle ABC qui est rectangle en A 🔺, trouve le centre de son cercle circonscrit ✨ et démontre que l’hypoténuse BC est le diamètre de ce cercle. Indice : Souvenez-vous que dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est lié à l’hypoténuse! 🚀

Instructions

1. 🔎 Identifie d’abord l’hypoténuse dans le triangle ABC.
2. 📍 Trouve le milieu de l’hypoténuse et explique pourquoi c’est important.
3. 🍪 Utilise la propriété du cercle circonscrit d’un triangle rectangle pour terminer le problème.

Correction

🔍 Étape 1 : L’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC], car c’est le côté opposé à l’angle droit en A.

📏 Étape 2 : Pour trouver le milieu de l’hypoténuse [BC], nous appelons ce point O. Le milieu O sera le centre du cercle circonscrit. Le point O est crucial car il est équidistant des sommets B et C.

✨ Étape 3 : Selon la propriété des triangles rectangles, le cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse [BC]. Voilà pourquoi O est le centre du cercle et [BC] est parfaite comme diamètre.

🚀 Réponse : Le centre du cercle circonscrit est le point O, milieu de [BC], et l’hypoténuse [BC] est bien le diamètre du cercle!

Conclusion

Te voilà bien informé sur le lien entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit. Rappelle-toi que le centre du cercle se situe toujours au milieu de l’hypoténuse et que cette dernière constitue le diamètre du cercle.

En manipulant ces concepts, tels que le théorème du cercle circonscrit, tu peux découvrir d’importantes propriétés géométriques et approfondir ta compréhension des triangles inscrits dans des cercles.

N’hésite pas à lire plus avant avec ces cours de mathématiques supplémentaires.

Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.