Suites et récurrence – terminale

Comment étudier les suites et le raisonnement par récurrence en terminale ? Découvre des méthodes pour maîtriser ces notions et réussir tes exercices.

Introduction aux suites et à la récurrence

Les séquences numériques sont des suites de nombres ordonnés suivant une règle précise. En terminale, tu étudies principalement les suites arithmétiques et les suites géométriques, ainsi que les méthodes de raisonnement par récurrence pour démontrer des propriétés sur ces suites.

Les suites arithmétiques et géométriques

Une suite arithmétique est définie par une différence constante entre deux termes consécutifs. Par exemple, si la différence est 3, la suite commencera par 2, 5, 8, 11, etc.

En revanche, une suite géométrique multiplie chaque terme par un ratio fixe. Si le ratio est 2, la suite sera 3, 6, 12, 24, etc.

📝 Astuce : Identifie rapidement le type de suite en vérifiant si la différence ou le ratio entre les termes est constant.

Calcul des limites des suites

La limite d’une suite décrit son comportement lorsque le numéro des termes tend vers l’infini. Pour les suites arithmétiques, si le pas est positif ou négatif, la suite diverge vers l’infini ou moins l’infini.

Pour les suites géométriques, la limite dépend du ratio. Si le ratio est compris entre -1 et 1, la suite converge vers 0.

📈 Technique : Utilise les propriétés des limites pour déterminer rapidement le comportement asymptotique d’une suite.

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode puissante pour prouver qu’une propriété est vraie pour tous les termes d’une suite. Il se compose de deux étapes : l’initialisation et l’hérédité.

🔍 Exemple : Soit la suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1. Pour prouver que uₙ = 2ⁿ – 1, commence par vérifier l’initialisation, puis montre que si c’est vrai pour un rang k, cela l’est pour k+1.

Étude graphique des suites

Analyser graphiquement une suite permet de visualiser son évolution. Utilise des outils comme Géogebra pour tracer les premiers termes et observer les tendances de convergence ou de divergence.

🎨 Astuce : Un graphe en escalier peut t’aider à mieux comprendre le comportement d’une suite, surtout pour les suites définies par récurrence.

Manipulations des limites

Les limites des sommes, produits ou quotients de suites se déterminent en combinant leurs limites individuelles, si elles existent. Par exemple, la limite d’une somme de deux suites est la somme de leurs limites.

🧮 Technique : Applique les règles de calcul des limites pour simplifier l’étude des suites complexes en les décomposant en suites plus simples.

Pour approfondir tes connaissances, consulte les exercices de mathématiques disponibles sur le site.

Étude d’une suite récurrente simple en Terminale

Énoncé de l’exercice

Considérons la suite (u_n) définie par u₀ = 3 et pour tout entier naturel n ≥ 0, u_n+1 = 2uₙ + 1 📈.
Déterminez une expression explicite pour uₙ et précisez la limite de cette suite lorsque n tend vers l’infini 🌟.

Instructions

1. 🔍 Identifier le type de suite et la relation de récurrence.
2. ✏️ Formuler une hypothèse pour l’expression explicite de uₙ.
3. ✅ Utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer l’expression trouvée.
4. 📊 Analyser le comportement asymptotique de la suite pour déterminer sa limite.
5. 💡 Astuce : Pensez à résoudre l’équation caractéristique associée à la récurrence.

Correction

📌 Étape 1 : La suite (u_n) est une suite récurrente linéaire du premier ordre avec relation de récurrence u_n+1 = 2uₙ + 1.

📝 Étape 2 : Supposons que l’expression explicite de uₙ est de la forme uₙ = A·2ⁿ + B, où A et B sont des constantes à déterminer.

🔧 Étape 3 : En substituant dans la relation de récurrence :

u_n+1 = 2uₙ + 1 ⟹ A·2ⁿ⁺¹ + B = 2(A·2ⁿ + B) + 1

Simplifions :

A·2ⁿ⁺¹ + B = 2A·2ⁿ + 2B + 1

Ce qui donne :

A·2ⁿ⁺¹ + B = A·2ⁿ⁺¹ + 2B + 1

En égalisant les termes, on obtient B = 2B + 1, ce qui donne B = -1.

📐 Étape 4 : Utilisons la condition initiale pour déterminer A :

u₀ = 3 = A·2⁰ + (-1) ⟹ 3 = A – 1 ⟹ A = 4

Ainsi, l’expression explicite est uₙ = 4·2ⁿ – 1.

📉 Étape 5 : Pour déterminer la limite de la suite, observons que lorsque n tend vers l’infini, 4·2ⁿ domine et -1 devient négligeable. Donc,

lim_n→∞ uₙ = +∞.

Étude approfondie d’une suite arithmético-récurrente

Énoncé de l’exercice

On considère la suite (u_n) définie par récurrence de la manière suivante :

u₀ = 3 et pour tout entier naturel n ≥ 0,
u_n+1 = 2u_n + 5 📈.
Déterminez une expression explicite pour u_n et analysez le comportement de la suite. 🧮

Instructions

1. 🔍 Identifier la relation de récurrence et le terme initial.
2. 🛠️ Résoudre la relation de récurrence pour trouver une expression explicite de u_n.
3. 📊 Analyser le comportement de la suite en étudiant sa limite lorsque n tend vers l’infini.

Correction

📝 Identification de la relation de récurrence :
La suite est définie par u₀ = 3 et
u_n+1 = 2u_n + 5.

🔧 Résolution de la relation de récurrence :
Nous remarquons que la relation est linéaire et non homogène. Cherchons une solution particulière. Soit u_n = A, une constante. Alors :

2A + 5 = A ⇒ A = -5.

La solution générale est donc :
u_n = C·2ⁿ – 5.

Utilisons la condition initiale pour déterminer C :

u₀ = C·2⁰ – 5 = C – 5 = 3 ⇒ C = 8.

Ainsi, l’expression explicite est :
u_n = 8·2ⁿ – 5.

📈 Analyse du comportement de la suite :
Examinons la limite de u_n lorsque n tend vers l’infini.

Comme 2ⁿ croît rapidement, 8·2ⁿ – 5 tend vers l’infini.

Donc, la suite (u_n) diverge vers l’infini.

Réponse finale : L’expression explicite de la suite est u_n = 8·2ⁿ – 5 et la suite diverge vers l’infini.

Étude d’une suite définie par récurrence

Énoncé de l’exercice

📐 Considérez la suite (u_n) définie par u₀ = 2 et pour tout entier naturel n ≥ 0,
u_n+1 = 0,5·u_n + 3. 🔍 Analysez le comportement de cette suite.

Instructions

1. 🔢 Calculer les cinq premiers termes de la suite.
2. 🧮 Proposer une expression explicite de u_n en fonction de n.
3. 📈 Déterminer la limite de la suite lorsque n tend vers l’infini.
4. 🔍 Prouver votre expression explicite par réasonnement par récurrence.

Correction

📝 Étape 1 : Calculons les cinq premiers termes de la suite.

Pour n = 0, on a u₀ = 2.
Pour n = 1, u₁ = 0,5·2 + 3 = 1 + 3 = 4.
Pour n = 2, u₂ = 0,5·4 + 3 = 2 + 3 = 5.
Pour n = 3, u₃ = 0,5·5 + 3 = 2,5 + 3 = 5,5.
Pour n = 4, u₄ = 0,5·5,5 + 3 = 2,75 + 3 = 5,75.

📐 Étape 2 : Proposons une expression explicite de u_n.

Observons que la suite semble converger vers une valeur limite. Supposons que u_n = 6 – 4·(0,5)ⁿ.

📊 Étape 3 : Déterminons la limite de la suite.

La limite de u_n est 6, puisque lim (0,5)ⁿ = 0.

🎓 Étape 4 : Prouvons que u_n = 6 – 4·(0,5)ⁿ par récurrence.

Initialisation : Pour n = 0, u₀ = 2 et 6 – 4·(0,5)⁰ = 6 – 4 = 2. La propriété est vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un certain k, u_k = 6 – 4·(0,5)^k. Montrons que u_k+1 = 6 – 4·(0,5)^k+1.

u_k+1 = 0,5·u_k + 3
= 0,5·(6 – 4·(0,5)^k) + 3
= 3 – 2·(0,5)^k + 3
= 6 – 2·(0,5)^k
= 6 – 4·(0,5)^k+1.

Ainsi, par récurrence, l’expression explicite est vérifiée.

🎯 Réponse finale : u_n = 6 – 4·(0,5)ⁿ et la limite de la suite est 6.

Conclusion

Tu as maintenant une bonne maîtrise des suites et du raisonnement par récurrence. Ces outils te permettront d’aborder de nombreux problèmes mathématiques avec confiance.

Continue à t’exercer sur les limites et les variations des suites pour renforcer tes compétences. Découvre nos cours particuliers et progresse efficacement.