💡 À retenir avant de commencer
Les fonctions trigonométriques font partie des fonctions de référence du programme de Terminale. Définies à partir du cercle trigonométrique, elles décrivent des phénomènes périodiques (oscillations, ondes, mouvements circulaires) et apparaissent régulièrement au baccalauréat. Ce cours présente leurs définitions, leurs propriétés essentielles, leurs dérivées, ainsi qu’une méthode complète pour résoudre les équations trigonométriques.
1. Le cercle trigonométrique et le radian
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). À tout réel x, on associe un unique point M du cercle obtenu en « enroulant » la droite réelle autour du cercle, en partant du point I(1 ; 0).
L’unité d’angle utilisée est le radian : un angle d’un radian intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle. Le tour complet (360°) correspond à 2π radians.
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
2. Définition des fonctions cosinus et sinus
📐 Définition
- cos x = abscisse du point M ;
- sin x = ordonnée du point M.
Les fonctions cosinus : x ↦ cos x et sinus : x ↦ sin x sont définies sur ℝ et à valeurs dans [−1 ; 1]. Ainsi, pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1.
Une relation fondamentale relie ces deux fonctions, conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle de rayon 1 :
📐 Relation fondamentale
3. Valeurs remarquables
Il est indispensable de connaître par cœur les valeurs du cosinus et du sinus pour les angles usuels du premier quadrant. Toutes les autres se déduisent ensuite grâce aux symétries du cercle.
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
💡 Astuce
4. Angles associés, parité et périodicité
Les symétries du cercle trigonométrique donnent les formules des angles associés, très utiles pour résoudre des équations :
- cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x
- cos(x + π) = −cos x et sin(x + π) = −sin x
- cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x
📐 Parité et périodicité
- cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x : les deux fonctions sont périodiques de période 2π.
- cos(−x) = cos x : la fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
- sin(−x) = −sin x : la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine).
Grâce à la périodicité, il suffit d’étudier ces fonctions sur un intervalle d’amplitude 2π, par exemple [−π ; π], puis de reproduire la courbe par translations.
5. Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ. Leurs dérivées font partie des résultats à connaître impérativement.
📐 Dérivées de référence
- (sin x)′ = cos x
- (cos x)′ = −sin x
Plus généralement, pour une fonction de la forme u(x) = sin(ax + b) ou v(x) = cos(ax + b) avec a et b réels :
- (sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b)
- (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b)
Ces formules découlent de la limite fondamentale limx→0 (sin x)/x = 1, qui exprime que sinus est dérivable en 0 avec un nombre dérivé égal à 1.
⚠️ Erreur fréquente
6. Sens de variation et courbes
On peut établir le sens de variation à partir du signe de la dérivée. Étudions par exemple le sinus sur [−π ; π].
- La dérivée de sin est cos. Or cos x > 0 sur ]−π/2 ; π/2[ et cos x < 0 sur ]−π ; −π/2[ et ]π/2 ; π[.
- Donc sinus est croissante sur [−π/2 ; π/2] et décroissante sur [−π ; −π/2] et [π/2 ; π].
- Le sinus atteint son maximum 1 en π/2 et son minimum −1 en −π/2.
De même, la dérivée de cosinus est −sin. Sur [0 ; π], sin x ≥ 0, donc −sin x ≤ 0 : la fonction cosinus est décroissante sur [0 ; π], passant de 1 à −1.
Graphiquement, la courbe de sinus (la sinusoïde) passe par l’origine et oscille entre −1 et 1 ; celle de cosinus est la même courbe décalée de π/2 vers la gauche. Les deux courbes sont périodiques de période 2π.
7. Résoudre les équations cos x = a et sin x = a
Ces équations sont au cœur des exercices du bac. La méthode repose sur les valeurs remarquables et les angles associés.
📐 Équations de référence
- cos x = cos α ⟺ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ
- sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ
Si |a| > 1, l’équation n’a aucune solution (car cos x et sin x sont compris entre −1 et 1).
Méthode : 1) repérer une valeur remarquable α telle que cos α = a (ou sin α = a) ; 2) appliquer la formule de référence ; 3) si un intervalle est imposé, sélectionner les valeurs de k qui conviennent.
8. Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Voir la correction
x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
Dans [0 ; 2π] : pour x = π/3 + 2kπ, seule k = 0 convient → x = π/3. Pour x = −π/3 + 2kπ, k = 1 donne x = −π/3 + 2π = 5π/3.
Les solutions dans [0 ; 2π] sont donc π/3 et 5π/3.
✏️ Exercice 2
Voir la correction
• (2 sin x)′ = 2 cos x.
• Pour −cos(2x), on utilise (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b) avec a = 2 : (cos(2x))′ = −2 sin(2x), donc (−cos(2x))′ = 2 sin(2x).
D’où f′(x) = 2 cos x + 2 sin(2x).
✏️ Exercice 3
Voir la correction
x = π/4 + 2kπ ou x = π − π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
Dans [0 ; 2π], k = 0 donne les deux solutions : x = π/4 et x = 3π/4.
Foire aux questions
Quelle est la différence entre degrés et radians ?
Ce sont deux unités de mesure d’angle. Le radian est privilégié en Terminale car il rend les formules de dérivation valables : (sin x)′ = cos x n’est vraie que si x est exprimé en radians. La conversion repose sur l’égalité 180° = π radians.
Comment retenir les dérivées de sinus et cosinus ?
Retenez que la dérivée du sinus est le cosinus, et que dériver fait apparaître un signe « − » pour le cosinus : (cos x)′ = −sin x. Une façon de mémoriser : sin → cos → −sin → −cos → sin, le cycle des dérivées successives.
Pourquoi les fonctions sinus et cosinus n’ont-elles pas de limite en l’infini ?
Parce qu’elles sont périodiques et oscillent indéfiniment entre −1 et 1 sans se rapprocher d’une valeur fixe. Elles n’admettent donc pas de limite finie ni infinie en +∞ ou −∞.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
