Primitives et équations différentielles – terminale

Comment utiliser les primitives pour résoudre les équations différentielles en terminale ? Découvrez les méthodes efficaces et les exemples pratiques pour maîtriser ces notions.

Introduction aux primitives

Les primitives sont des fonctions dont la dérivée est la fonction initiale. Elles comptent en calcul intégral et en équations différentielles. Comprendre comment déterminer une primitive permet de résoudre divers problèmes mathématiques.

Calcul des primitives

Pour trouver une primitive d’une fonction, il est souvent utile de connaître les primitives des fonctions élémentaires. Par exemple, la primitive de sin(x) est -cos(x).

😀 Exemple : Trouve une primitive de e^3x.
La primitive est (1/3)e^3x + C, où C est une constante d’intégration.

Équations différentielles

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Par exemple, l’équation y’ = 3y – 3 sollicite de trouver une fonction y en fonction de x qui satisfait cette relation.

Méthodes de résolution

Il existe plusieurs techniques pour résoudre les équations différentielles. L’une des méthodes courantes est la séparation des variables, qui consiste à isoler y et x de chaque côté de l’équation.

🔧 Astuces : Toujours vérifier si l’équation peut être mise sous forme séparée ou si elle est linéaire avant de choisir la méthode de résolution.

Applications des équations différentielles

Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes tels que la croissance des populations, les mouvements mécaniques ou les circuits électriques. Elles permettent de décrire l’évolution d’un système au fil du temps.

🔍 Technique : Utilise des conditions initiales pour déterminer la constante d’intégration lors de la résolution d’une équation différentielle.

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Résolution d’une équation différentielle linéaire

Énoncé de l’exercice

📐 Soit l’équation différentielle y’ + 2y = 4e^−x. Détermine la solution générale de cette équation et calcule la primitive associée. ✨

Instructions

1. 🔍 Identifier le type d’équation différentielle.
2. ✏️ Calculer le coefficient intégrant.
3. 🔗 Multiplier toute l’équation par le coefficient intégrant.
4. ➕ Intégrer des deux côtés pour trouver la solution générale.
5. 🔄 Vérifier la solution obtenue.

Correction

📝 Étape 1 : L’équation différentielle donnée est linéaire de la forme y’ + P(x)y = Q(x), où P(x) = 2 et Q(x) = 4e^−x.

🔧 Étape 2 : Calculons le coefficient intégrant, qui est μ(x) = e^∫P(x)dx = e^2x.

🔗 Étape 3 : Multiplions toute l’équation par μ(x) :

e^2xy’ + 2e^2xy = 4e^−xe^2x = 4e^x.

➕ Étape 4 : L’équation devient une dérivée totale :

d/dx (e^2xy) = 4e^x.

En intégrant des deux côtés :

e^2xy = 4∫e^xdx = 4e^x + C, où C est la constante d’intégration.

🔄 Étape 5 : Isolons y :

y = 4e^−x + Ce^−2x.

Vérification d’une solution d’équation différentielle

Énoncé de l’exercice

Soit la fonction f définie par f(x) = e^3x + 1. 🔍 Montrez que cette fonction est une solution de l’équation différentielle y′ = 3y − 3. 💡 Astuce : Calculez la dérivée de f(x) et vérifiez l’égalité.

Instructions

1. 📘 Calculer la dérivée de f(x).
2. 🔗 Substituer f(x) et f′(x) dans l’équation différentielle donnée.
3. ✅ Vérifier si l’égalité est respectée.
4. 💡 Conseil : Soyez attentif aux coefficients lors de la substitution.

Correction

🔢 Étape 1 : Calculons la dérivée de f(x) = e^3x + 1.

La dérivée de e^3x est 3e^3x, et la dérivée de 1 est 0. Donc, f′(x) = 3e^3x.

🔄 Étape 2 : Substituons f(x) et f′(x) dans l’équation y′ = 3y − 3.

Nous avons f′(x) = 3e^3x et 3f(x) − 3 = 3(e^3x + 1) − 3 = 3e^3x + 3 − 3 = 3e^3x.

✅ Étape 3 : Vérifions si f′(x) = 3y − 3.

En remplaçant, nous obtenons 3e^3x = 3e^3x, ce qui est une égalité vraie.

Réponse finale : La fonction f(x) = e^3x + 1 est bien une solution de l’équation différentielle y′ = 3y − 3.

Résolution d’une équation différentielle linéaire

Énoncé de l’exercice

📐 Déterminez la solution générale de l’équation différentielle suivante :
y’ + 2y = 4x. Pensez à utiliser un facteur intégrant 🧮.

Instructions

1. 📝 Identifier le type d’équation différentielle donnée.
2. 🔍 Calculer le facteur intégrant approprié.
3. ✏️ Multiplier l’équation par le facteur intégrant.
4. 📚 Intégrer les deux côtés de l’équation obtenue.
5. ✅ Exprimer la solution générale.

Correction

📝 Étape 1 : L’équation différentielle est de type linéaire du premier ordre, car elle peut être écrite sous la forme y’ + P(x)y = Q(x), où P(x) = 2 et Q(x) = 4x.

🔍 Étape 2 : Calculons le facteur intégrant μ(x) = e^∫P(x)dx = e^∫2dx = e^2x.

✏️ Étape 3 : Multipliant l’équation par μ(x) :
e^{2x}y’ + 2e^{2x}y = 4x e^{2x}.

📚 Étape 4 : La partie gauche de l’équation est la dérivée de (μ(x)y). Intégrons les deux côtés :
y e^{2x} = ∫4x e^{2x} dx + C.

📐 Étape 5 : En résolvant l’intégrale par parties, on obtient :
y = 2x – 1 + Ce^{-2x}.

✅ La solution générale est : y = 2x – 1 + Ce^{-2x}

Conclusion

Les primitives et les équations différentielles sont des outils essentiels pour aborder les problèmes mathématiques de terminale.

Pratique régulièrement afin de consolider tes acquis et t’assurer une bonne maîtrise des concepts.

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