Vecteurs, droites et plans de l’espace – Cours de Maths Terminale

En terminale, la géométrie dans l’espace mobilise les vecteurs, les représentations parametriques et les équations cartesiennes. Ces outils permettent de decrire des droites et des plans, de determiner leurs positions relatives et de resoudre des problèmes d’intersection. L’enjeu est de taille : les exercices du baccalaureat combinent souvent calculs vectoriels, systèmes d’équations et raisonnement géométrique. Dans cet article, tu vas maitriser chaque outil, des coordonnees d’un vecteur de l’espace jusqu’aux positions relatives de deux plans, avec des méthodes claires et des exercices corriges.

Vecteurs de l’espace : coordonnees et opérations

Dans un repère orthonorme (O ; i, j, k) de l’espace, tout vecteur u se decompose selon les trois axes :

u = xi + yj + zk, note u(x ; y ; z)

Coordonnees d’un vecteur defini par deux points

Si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), alors le vecteur AB a pour coordonnees :

AB(x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A)

Opérations sur les vecteurs

Colinearite et coplanarite

Deux vecteurs u et v sont colineaires si et seulement s’il existe un reel λ tel que u = λv (ou si l’un des deux est le vecteur nul).

Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement s’il existe des reels a et b tels que w = au + bv. On peut le vérifier en calculant le determinant de la matrice formee par les trois vecteurs :

det(u, v, w) = x(y’z » − z’y ») − y(x’z » − z’x ») + z(x’y » − y’x »)

Si ce determinant est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

Produit vectoriel (hors programme strict mais utile)

Le produit vectoriel u ∧ v donne un vecteur perpendiculaire a u et a v :

u ∧ v = (yz’ − zy’ ; zx’ − xz’ ; xy’ − yx’)

Ce vecteur est particulierement utile pour trouver un vecteur normal a un plan defini par deux vecteurs directeurs.

Représentation parametrique d’une droite

Une droite de l’espace est definie par un point et un vecteur directeur. Si la droite (d) passe par A(x_A ; y_A ; z_A) et admet u(a ; b ; c) comme vecteur directeur, alors un point M(x ; y ; z) appartient a (d) si et seulement si AM = tu, c’est-a-dire :

Exemple : La droite passant par A(1 ; 3 ; −2) de vecteur directeur u(2 ; −1 ; 4) a pour représentation parametrique :

x = 1 + 2t

y = 3 − t

z = −2 + 4t

t ∈ ℝ

Pour vérifier qu’un point appartient a la droite, on remplace ses coordonnees dans les trois équations et on vérifié qu’une meme valeur de t convient aux trois.

Exemple : Le point B(5 ; 1 ; 6) appartient-il a cette droite ?

5 = 1 + 2t ⇒ t = 2

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les équations de droites et de plans.

1 = 3 − t ⇒ t = 2

6 = −2 + 4t ⇒ t = 2

Les trois équations donnent t = 2 : oui, B appartient a la droite.

Équation cartesienne d’un plan

Un plan de l’espace est defini par un point et un vecteur normal (perpendiculaire au plan). Si le plan (P) passe par A(x_A ; y_A ; z_A) et admet n(a ; b ; c) comme vecteur normal, alors un point M(x ; y ; z) appartient a (P) si et seulement si n · AM = 0.

Exemple : Trouver l’équation du plan passant par A(1 ; 2 ; −3) de vecteur normal n(3 ; −1 ; 2).

L’équation est de la forme 3x − y + 2z + d = 0.

On substitue A : 3(1) − 2 + 2(−3) + d = 0

3 − 2 − 6 + d = 0

−5 + d = 0

d = 5

L’équation du plan est : 3x − y + 2z + 5 = 0

Représentation parametrique d’un plan

Un plan peut aussi etre decrit par une représentation parametrique, avec un point et deux vecteurs directeurs non colineaires u et v :

x = x_A + su₁ + tv₁

y = y_A + su₂ + tv₂

z = z_A + su₃ + tv₃

(s, t) ∈ ℝ²

Pour passer de la représentation parametrique a l’équation cartesienne, on elimine les parametres s et t, ou on calcule le produit vectoriel u ∧ v pour obtenir le vecteur normal.

Positions relatives de deux droites

Deux droites (d₁) et (d₂) de l’espace peuvent etre dans quatre configurations differentes.

Position	Condition	Intersection
Secantes	Coplanaires + non parallèles	Un point
Parallèles strictement	Vecteurs directeurs colineaires, droites distinctes	Aucun point
Confondues	Vecteurs directeurs colineaires, meme droite	Infinite de points
Non coplanaires	Pas dans un meme plan	Aucun point

Exemple : Soient (d₁) passant par A(1 ; 0 ; 2) de vecteur u(1 ; 2 ; −1) et (d₂) passant par B(3 ; 1 ; 0) de vecteur v(2 ; 1 ; 1).

Les vecteurs u et v ne sont pas colineaires (pas de reel λ tel que (2 ; 1 ; 1) = λ(1 ; 2 ; −1)).

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’orthogonalité et les distances dans l’espace.

On resout le système :

1 + t = 3 + 2s ⇒ t − 2s = 2 … (1)

2t = 1 + s ⇒ 2t − s = 1 … (2)

2 − t = s ⇒ −t − s = −2 … (3)

De (2) : s = 2t − 1. Dans (3) : −t − (2t − 1) = −2, donc −3t + 1 = −2, t = 1.

Alors s = 2(1) − 1 = 1.

Vérification dans (1) : 1 − 2(1) = −1 ≠ 2.

Le système n’a pas de solution : les droites sont non coplanaires.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Une droite (d) de vecteur directeur u et un plan (P) d’équation ax + by + cz + d = 0 (vecteur normal n(a ; b ; c)) peuvent etre dans trois configurations.

Position	Condition	Intersection
Secantes	u · n ≠ 0	Un point
Parallèles (droite hors du plan)	u · n = 0 et un point de (d) n’appartient pas a (P)	Aucun point
Droite incluse dans le plan	u · n = 0 et un point de (d) appartient a (P)	Infinite de points

Exemple : La droite (d) passe par A(1 ; 2 ; 3) avec u(1 ; −1 ; 2). Le plan (P) a pour équation 2x + y − z + 1 = 0, donc n(2 ; 1 ; −1).

u · n = 1 × 2 + (−1) × 1 + 2 × (−1) = 2 − 1 − 2 = −1 ≠ 0

La droite et le plan sont secants. Pour trouver le point d’intersection, on substitue la parametrique de (d) dans l’équation de (P) :

2(1 + t) + (2 − t) − (3 + 2t) + 1 = 0

2 + 2t + 2 − t − 3 − 2t + 1 = 0

2 − t = 0

t = 2

Le point d’intersection est I(1 + 2 ; 2 − 2 ; 3 + 4) = I(3 ; 0 ; 7).

Positions relatives de deux plans

Deux plans (P₁) : a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 et (P₂) : a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, de vecteurs normaux n₁(a₁ ; b₁ ; c₁) et n₂(a₂ ; b₂ ; c₂).

Position	Condition	Intersection
Secants	n₁ et n₂ non colineaires	Une droite
Parallèles strictement	n₁ et n₂ colineaires, plans distincts	Aucun point
Confondus	n₁ et n₂ colineaires, memes plans	Infinite de points (le plan entier)

Trouver la droite d’intersection de deux plans secants

Quand deux plans sont secants, leur intersection est une droite. Pour la determiner :

1. Resous le système de deux équations a trois inconnues (les deux équations des plans).
2. Exprime deux des inconnues en fonction de la troisieme (qui devient le parametre).
3. Tu obtiens la représentation parametrique de la droite d’intersection.

Exemple : Trouver l’intersection de (P₁) : x + 2y − z = 3 et (P₂) : 2x − y + z = 1.

Additionnons les deux équations : 3x + y = 4, soit y = 4 − 3x.

De (P₁) : z = x + 2y − 3 = x + 2(4 − 3x) − 3 = x + 8 − 6x − 3 = −5x + 5.

Posons t = x. La droite d’intersection a pour représentation parametrique :

x = t

y = 4 − 3t

z = 5 − 5t

t ∈ ℝ

Elle passe par le point (0 ; 4 ; 5) (pour t = 0) et a pour vecteur directeur (1 ; −3 ; −5).

Tableau recapitulatif

Objet	Ce qu’il faut	Représentation
Droite	1 point + 1 vecteur directeur	Parametrique (1 parametre t)
Plan	1 point + 1 vecteur normal	Cartesienne ax + by + cz + d = 0
Plan	1 point + 2 vecteurs directeurs	Parametrique (2 parametres s, t)
Droite ∩ Plan	Substituer parametrique dans cartesienne	Resoudre pour t
Plan ∩ Plan	Système de 2 équations, 3 inconnues	Parametrique de la droite

Erreurs frequentes

Exercices corriges

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Coordonnees de AB :

AB = (4 − 2 ; 3 − (−1) ; −1 − 3) = (2 ; 4 ; −4)

Norme :

||AB|| = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6

Représentation parametrique de (AB) :

x = 2 + 2t

y = −1 + 4t

z = 3 − 4t

t ∈ ℝ

Voir la correction

Calculons deux vecteurs directeurs du plan :

AB = (2 ; 1 ; 2) et AC = (−1 ; 2 ; 3)

Le vecteur normal est n = AB ∧ AC :

n_x = 1 × 3 − 2 × 2 = 3 − 4 = −1

n_y = 2 × (−1) − 2 × 3 = −2 − 6 = −8

n_z = 2 × 2 − 1 × (−1) = 4 + 1 = 5

n = (−1 ; −8 ; 5)

Équation : −x − 8y + 5z + d = 0

Avec A(1 ; 0 ; −2) : −1 − 0 − 10 + d = 0, donc d = 11.

−x − 8y + 5z + 11 = 0

Ou, en multipliant par −1 : x + 8y − 5z − 11 = 0

Voir la correction

Vecteur directeur de (d) : u(1 ; −2 ; 3). Vecteur normal de (P) : n(1 ; 1 ; 1).

u · n = 1 + (−2) + 3 = 2 ≠ 0

La droite et le plan sont secants.

Point d’intersection : substituons dans l’équation du plan.

(2 + t) + (1 − 2t) + 3t − 5 = 0

2 + t + 1 − 2t + 3t − 5 = 0

−2 + 2t = 0

t = 1

Le point d’intersection est I(3 ; −1 ; 3).

Voir la correction

n₁ = (2 ; −1 ; 3) et n₂ = (4 ; −2 ; 6) = 2 × (2 ; −1 ; 3) = 2n₁.

Nous vous conseillons également notre cours sur les limites de fonctions.

Les vecteurs normaux sont colineaires, donc les plans sont parallèles.

Sont-ils confondus ? Si (P₂) = 2 × (P₁), on aurait 4x − 2y + 6z = 8. Or l’équation de (P₂) donne 4x − 2y + 6z = 5 ≠ 8.

Les plans sont strictement parallèles.

Voir la correction

u(1 ; 1 ; −1) et v(2 ; 3 ; −1) ne sont pas colineaires (pas de λ tel que (2 ; 3 ; −1) = λ(1 ; 1 ; −1)).

Representations parametriques :

(d₁) : x = t, y = 1 + t, z = 2 − t

(d₂) : x = 1 + 2s, y = 2 + 3s, z = −s

Système :

t = 1 + 2s … (1)

1 + t = 2 + 3s … (2)

2 − t = −s … (3)

De (1) : t = 1 + 2s. Dans (2) : 1 + 1 + 2s = 2 + 3s, soit 2 + 2s = 2 + 3s, donc s = 0.

Alors t = 1 + 0 = 1.

Vérification dans (3) : 2 − 1 = 1 et −s = 0. Or 1 ≠ 0.

Le système est incompatible : les droites sont non coplanaires.

FAQ

Quelle est la difference entre représentation parametrique et équation cartesienne ?

La représentation parametrique exprime chaque coordonnee en fonction d’un ou plusieurs parametres. L’équation cartesienne relie directement les coordonnees entre elles, sans parametre. Dans l’espace, une droite se represente naturellement en parametrique (un parametre), et un plan en équation cartesienne (une équation). Mais un plan peut aussi avoir une représentation parametrique (deux parametres).

Comment trouver un vecteur normal a un plan donne par trois points ?

Calcule deux vecteurs du plan (par exemple AB et AC), puis effectue leur produit vectoriel AB ∧ AC. Le résultat est un vecteur perpendiculaire aux deux, donc normal au plan. Tu peux ensuite ecrire l’équation cartesienne du plan a partir de ce vecteur normal et d’un des trois points.

Deux droites non coplanaires, c’est quoi concretement ?

Deux droites non coplanaires (ou « gauches ») sont deux droites de l’espace qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Pense a deux rues qui passent a des etages differents d’un parking : elles ne sont pas dans le meme plan, ne se croisent jamais, et ne sont pas parallèles non plus. Cette situation est propre a l’espace 3D ; elle n’existe pas dans le plan.

Comment savoir si un point appartient a un plan ?

Remplace les coordonnees du point dans l’équation cartesienne du plan. Si l’équation est verifiee (le membre de gauche vaut zero), le point appartient au plan. Sinon, il est en dehors.

Le produit vectoriel est-il au programme de terminale ?

Le produit vectoriel n’est pas explicitement au programme de terminale générale dans les textes officiels. Cependant, de nombreux manuels et professeurs l’introduisent comme outil pratique pour trouver un vecteur normal a un plan. Au baccalaureat, si tu l’utilises, il est accepte a condition de le maitriser correctement. Si tu preferes ne pas l’utiliser, tu peux toujours trouver le vecteur normal en resolvant un système (n · AB = 0 et n · AC = 0).