Continuité des fonctions – terminale

Comment définir la continuité des fonctions et l’utiliser en terminale ? Découvrons ensemble ses applications concrètes.

Définition de la continuité

La continuité d’une fonction signifie que sa courbe peut être tracée sans interruption sur un intervalle donné. Pour une fonction f définie sur un intervalle [a, b], elle est continue si, à chaque point de cet intervalle, limite existent et sont égales à la valeur de la fonction en ce point.

Tester la continuité graphiquement

📘 Pour vérifier la continuité graphiquement, observe si tu peux tracer la courbe de la fonction sans lever le crayon sur l’intervalle étudié. Par exemple, la fonction définie sur [−2, 2] est continue car sa courbe est ininterrompue.

Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et prend des valeurs de signes opposés aux extrémités, elle admet au moins une solution à f(x) = 0 dans cet intervalle. Par exemple, si f(3) < 0 et f(7) > 0, il existe une solution entre 3 et 7.

Fonctions continues et monotonie

Une fonction qui est strictement monotone et continue possède une unique solution pour chaque valeur dans son intervalle de définition. Si f(-5) > 0 et lim (x→-∞) f(x) = -∞, alors l’équation f(x)=0 a une unique solution sur ]-∞, -5[.

Exercices pratiques

💡 Entraîne-toi avec des exercices corrigés pour renforcer ta compréhension de la continuité. Par exemple, déterminer si une fonction définie sur [0, 4] est continue en étudiant son tableau de variation et en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires.

Propriétés des fonctions usuelles

Les fonctions usuelles telles que les affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue et exponentielles sont continues sur tous les intervalles inclus dans leur domaine de définition. De plus, une fonction dérivable sur un intervalle est nécessairement continue sur cet intervalle.

Techniques pour étudier la continuité

🔧 Utilise différentes techniques comme l’analyse des limites et l’étude des graphes pour déterminer la continuité d’une fonction. Par exemple, vérifier les limites à gauche et à droite d’un point particulier peut révéler des interruptions dans la courbe.

Pour approfondir tes connaissances, consulte nos cours de mathématiques.

Étude de continuité d’une fonction sur [−2 ; 2]

Énoncé de l’exercice

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [-2, 2] par :

f(x) =

• x² – 4 lorsque x ≤ 0
• 2x + 1 lorsque x > 0

🔍 Analysez la continuité de cette fonction sur l’ensemble de l’intervalle et déterminez si f est continue en x = 0. 📘

Instructions

1. 🔧 Définir la continuité d’une fonction en un point.
2. 📊 Tracer graphiquement les deux branches de la fonction sur l’intervalle donné.
3. 🔍 Examiner la limite à gauche et à droite en x = 0.
4. ✍️ Comparer les limites avec la valeur de la fonction en x = 0.
5. ✅ Conclure sur la continuité de f en x = 0.
6. 💡 Astuce : Pensez à vérifier la compatibilité des deux branches en x = 0.

Correction

📘 Définition de la continuité : Une fonction est continue en un point si la limite à gauche et à droite existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

📊 Tracé des branches : Pour x ≤ 0, f(x) = x² – 4 est une parabole, et pour x > 0, f(x) = 2x + 1 est une droite.

🔍 Calcul des limites :

– Limite à gauche en x = 0 : f(0) = (0)² – 4 = -4

– Limite à droite en x = 0 : lim_x→0⁺ 2x + 1 = 1

✍️ Comparaison avec f(0) : f(0) = -4

Les limites à gauche (-4) et à droite (1) ne sont pas égales, et aucune n’est égale à f(0).

✅ Conclusion : La fonction f est discontinue en x = 0 sur l’intervalle [-2, 2].

Analyser la continuité d’une fonction sur un intervalle

Énoncé de l’exercice

Soit la fonction f définie par
f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8
sur l’intervalle [1 ; 4].
🔍 Déterminez si la fonction f est continue sur cet intervalle et
📝 justifiez votre réponse en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Instructions

1. 📘 Étudiez le comportement de la fonction f sur l’intervalle donné.
2. 🔍 Vérifiez les conditions du théorème des valeurs intermédiaires pour f.
3. ✏️ Concluez sur la continuité de f en vous appuyant sur vos observations.

Correction

✅ Étape 1 : La fonction f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8 est un polynôme.
Les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels, y compris sur l’intervalle [1 ; 4].

🔍 Étape 2 : Le théorème des valeurs intermédiaires stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé,
alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) pour a et b dans l’intervalle.
Étant donné que f est un polynôme, il satisfait automatiquement les conditions du théorème.

📝 Étape 3 : Puisque f est continue sur [1 ; 4] et qu’elle satisfait les conditions du théorème des valeurs intermédiaires,
nous pouvons conclure que f est continue sur cet intervalle.

✅ Réponse : La fonction f est continue sur l’intervalle [1 ; 4].

Analyse de la continuité d’une fonction sur un intervalle

Énoncé de l’exercice

Vous disposez de la fonction f définie sur l’intervalle [-3, 3] par :
f(x) = {
  2x + 1, pour x < 0 📉
  x², pour x ≥ 0 📈
}
Déterminez si la fonction f est continue sur tout l’intervalle [-3, 3] et précisez les points de discontinuité éventuels 🧐.

Instructions

1. 🔍 Étudiez la continuité de f sur chaque intervalle séparément.
2. 📐 Vérifiez la continuité en x = 0 en comparant les limites à gauche et à droite.
3. ✏️ Concluez sur la continuité globale de la fonction f sur [-3, 3].
4. Conseil : N’oubliez pas de vérifier si les valeurs des deux expressions coïncident en x = 0.

Correction

✅ Étude sur chaque intervalle : Pour x < 0, la fonction f est définie par 2x + 1, une fonction affine qui est continue sur [-3, 0[. Pour x ≥ 0, f est définie par x², une fonction polynomiale continue sur [0, 3].

🔄 Vérification en x = 0 : Calculons les limites :

• Limite à gauche (x → 0⁻) : 2(0) + 1 = 1
• Limite à droite (x → 0⁺) : (0)² = 0

Puisque limite à gauche ≠ limite à droite, la fonction f présente une discontinuité en x = 0.

📝 Conclusion : La fonction f est continue sur chaque sous-intervalle [-3, 0[ et [0, 3], mais elle est discontinue en x = 0. Ainsi, f n’est pas continue sur tout l’intervalle [-3, 3].

Conclusion

La continuité des fonctions te permet d’analyser leur comportement sur un intervalle. Comprendre cette notion est là pour résoudre divers problèmes mathématiques.

En maîtrisant le théorème des valeurs intermédiaires, tu seras mieux préparé pour aborder les exercices et réussir tes évaluations.