La logique mathématique et la théorie des ensembles forment le socle de toutes les mathématiques universitaires. Dès la L1, tu dois maîtriser les connecteurs logiques, les quantificateurs, les règles de négation et les opérations ensemblistes. Ces notions reviennent dans chaque matière : analyse, algèbre, probabilités, topologie. Cette page reprend tout depuis le début, avec des définitions rigoureuses, des tables de vérité complètes, les règles de De Morgan, les opérations sur les ensembles et le lien profond entre logique et ensembles. Cinq exercices corrigés te permettent de vérifier ta compréhension.
Propositions et connecteurs logiques
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. On ne peut pas avoir les deux en même temps, et il n’y a pas de troisième possibilité.
Exemples de propositions :
- « 2 est un nombre pair » → VRAI
- « 7 est divisible par 3 » → FAUX
- « Tout carré est un rectangle » → VRAI
En revanche, « x est supérieur à 5 » n’est pas une proposition tant qu’on ne connaît pas la valeur de x. C’est un prédicat (on en reparlera avec les quantificateurs).
La conjonction (ET, notée ∧)
La proposition P ∧ Q est vraie uniquement quand P et Q sont toutes les deux vraies. Dès que l’une des deux est fausse, la conjonction est fausse.
Exemple : « 4 est pair ET 4 est positif » → VRAI ∧ VRAI = VRAI.
La disjonction (OU, notée ∨)
La proposition P ∨ Q est vraie dès que l’une des deux (au moins) est vraie. Elle n’est fausse que si les deux sont fausses.
Attention : le OU mathématique est inclusif. « P ou Q » est vrai aussi quand les deux sont vrais simultanément. Ce n’est pas le « ou » exclusif du langage courant (« fromage ou dessert »).
La négation (NON, notée ¬)
La négation inverse la valeur de vérité. Si P est vrai, ¬P est faux. Si P est faux, ¬P est vrai.
Exemple : P = « 3 est pair ». P est faux, donc ¬P = « 3 n’est pas pair » est vrai.
L’implication (⇒)
P ⇒ Q se lit « si P, alors Q ». L’implication est fausse dans un seul cas : quand P est vrai et Q est faux. Dans tous les autres cas, elle est vraie.
⚠️ Erreur fréquente
Quand P est faux, l’implication P ⇒ Q est toujours vraie, quelle que soit la valeur de Q. C’est le point le plus déroutant pour les débutants. « Si la Lune est un carré, alors 2 + 2 = 5 » est une implication vraie, car l’hypothèse est fausse.
L’implication P ⇒ Q admet trois propositions liées :
- Réciproque : Q ⇒ P
- Contraposée : ¬Q ⇒ ¬P (toujours équivalente à P ⇒ Q)
- Contraire : ¬P ⇒ ¬Q (pas équivalente en général)
📐 À retenir
La contraposée de P ⇒ Q est ¬Q ⇒ ¬P. Ces deux propositions ont exactement la même valeur de vérité. Démontrer la contraposée équivaut à démontrer l’implication directe.
L’équivalence (⇔)
P ⇔ Q se lit « P si et seulement si Q ». Elle est vraie quand P et Q ont la même valeur de vérité (toutes deux vraies ou toutes deux fausses). L’équivalence revient à avoir simultanément P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Tables de vérité
Les tables de vérité résument toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité des propositions.
| P | Q | ¬P | P ∧ Q | P ∨ Q | P ⇒ Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | V | F |
| F | F | V | F | F | V | V |
💡 Astuce
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les espaces vectoriels et matrices.
Pour retenir la table de l’implication, souviens-toi qu’elle n’est fausse que dans un seul cas : V ⇒ F = F. « Le vrai ne peut pas impliquer le faux. » Dans les trois autres cas, l’implication est vraie.
Quantificateurs
Les quantificateurs permettent de transformer un prédicat (qui dépend d’une variable) en une proposition (qui a une valeur de vérité définie).
Le quantificateur universel ∀
∀x ∈ E, P(x) se lit « pour tout x appartenant à E, P(x) est vrai ». La proposition est vraie si P(x) est vrai pour chaque élément de E, sans exception.
Exemple : ∀n ∈ ℕ, n + 0 = n. C’est vrai : ajouter 0 à n’importe quel entier naturel donne cet entier.
Le quantificateur existentiel ∃
∃x ∈ E, P(x) se lit « il existe (au moins) un x dans E tel que P(x) est vrai ». Il suffit d’un seul élément vérifiant la propriété pour que la proposition soit vraie.
Exemple : ∃n ∈ ℕ, n² = 4. C’est vrai : n = 2 convient.
Ordre des quantificateurs
L’ordre des quantificateurs change radicalement le sens de la proposition. Compare :
- ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y > x → « pour tout réel x, il existe un réel y strictement plus grand » → VRAI (prends y = x + 1)
- ∃y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, y > x → « il existe un réel y plus grand que tous les réels » → FAUX (il n’y a pas de plus grand réel)
⚠️ Erreur fréquente
Inverser l’ordre des quantificateurs est l’une des erreurs les plus graves en L1. « ∀x, ∃y » et « ∃y, ∀x » n’ont pas du tout le même sens. Dans le premier cas, y peut dépendre de x. Dans le second, y est fixé une fois pour toutes.
Négation d’une proposition
Savoir nier correctement une proposition est une compétence fondamentale. Voici les règles de base.
Négation des connecteurs
- ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
- ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
Ce sont les lois de De Morgan. La négation d’un ET donne un OU (et inversement), et on nie chaque membre.
📐 À retenir
Lois de De Morgan :
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
Retiens : la négation échange les connecteurs (∧ ↔ ∨) et nie chaque proposition.
Négation des quantificateurs
- ¬(∀x ∈ E, P(x)) ⇔ ∃x ∈ E, ¬P(x)
- ¬(∃x ∈ E, P(x)) ⇔ ∀x ∈ E, ¬P(x)
La négation échange les quantificateurs (∀ ↔ ∃) et nie la propriété.
Négation de l’implication
¬(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ ¬Q
Pour nier « si P alors Q », il faut montrer que P est vrai ET Q est faux. C’est cohérent avec la table de vérité : le seul cas où P ⇒ Q est faux correspond à P vrai et Q faux.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur la géométrie analytique en L1.
Exemple : nier « si n est pair, alors n² est pair » revient à trouver un n pair tel que n² est impair. C’est impossible, donc l’implication est vraie.
💡 Astuce
Pour nier une proposition complexe avec plusieurs quantificateurs, procède de gauche à droite : échange chaque quantificateur et, à la fin, nie la propriété. Exemple :
¬(∀x, ∃y, P(x, y)) ⇔ ∃x, ∀y, ¬P(x, y)
Les ensembles
Définition
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. On note un ensemble par une lettre majuscule (A, B, E…) et ses éléments entre accolades.
Exemple : A = {1, 3, 5, 7} est l’ensemble des quatre premiers entiers impairs positifs.
On peut aussi définir un ensemble en compréhension : A = {n ∈ ℕ | n est impair et n ≤ 7}.
Appartenance (∈)
Si x est un élément de l’ensemble E, on écrit x ∈ E (« x appartient à E »). Sinon, on écrit x ∉ E.
Exemple : 3 ∈ {1, 2, 3, 4} mais 5 ∉ {1, 2, 3, 4}.
Inclusion (⊂)
On dit que A est inclus dans B (noté A ⊂ B) si tout élément de A est aussi élément de B. Autrement dit : ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Exemple : {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} car 1 ∈ {1, 2, 3, 4} et 3 ∈ {1, 2, 3, 4}.
⚠️ Erreur fréquente
Ne confonds pas ∈ (appartenance) et ⊂ (inclusion). L’appartenance relie un élément à un ensemble. L’inclusion relie deux ensembles entre eux. 3 ∈ {1, 2, 3}, mais {3} ⊂ {1, 2, 3}.
Ensembles remarquables
- ∅ : l’ensemble vide (aucun élément)
- ℕ = {0, 1, 2, 3, …} : entiers naturels
- ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} : entiers relatifs
- ℚ : nombres rationnels (fractions d’entiers)
- ℝ : nombres réels
- ℂ : nombres complexes
On a les inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Égalité de deux ensembles
Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A. C’est la méthode classique de la double inclusion pour prouver une égalité ensembliste.
Opérations sur les ensembles
Soit E un ensemble de référence (l’univers) et A, B deux sous-ensembles de E.
Union (∪)
A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}
L’union rassemble tous les éléments qui sont dans A, dans B, ou dans les deux.
Exemple : si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Intersection (∩)
A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}
L’intersection ne garde que les éléments communs aux deux ensembles.
Exemple : avec les mêmes A et B, A ∩ B = {3}.
Ce thème est développé dans notre article sur les probabilités et statistiques en L1.
Complémentaire
Le complémentaire de A dans E, noté Ā ou Ac ou CE(A), est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.
Ac = {x ∈ E | x ∉ A}
Différence
A \ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B} = A ∩ Bc
C’est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.
Différence symétrique
A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
C’est l’ensemble des éléments qui sont dans l’un ou l’autre, mais pas dans les deux.
| Opération | Notation | Condition d’appartenance |
|---|---|---|
| Union | A ∪ B | x ∈ A ou x ∈ B |
| Intersection | A ∩ B | x ∈ A et x ∈ B |
| Complémentaire | Ac | x ∉ A |
| Différence | A \ B | x ∈ A et x ∉ B |
| Différence symétrique | A Δ B | x ∈ A ∪ B et x ∉ A ∩ B |
Lien logique et ensembles
Il existe une correspondance directe entre la logique des propositions et la théorie des ensembles. Chaque connecteur logique a un équivalent ensembliste.
| Logique | Ensembles | Signification |
|---|---|---|
| P ∧ Q | A ∩ B | Les deux en même temps |
| P ∨ Q | A ∪ B | Au moins l’un des deux |
| ¬P | Ac | Tout ce qui n’est pas |
| P ⇒ Q | A ⊂ B | L’un est contenu dans l’autre |
| P ⇔ Q | A = B | Même ensemble |
Cette correspondance se précise ainsi : si A = {x ∈ E | P(x)} et B = {x ∈ E | Q(x)}, alors :
- {x ∈ E | P(x) ∧ Q(x)} = A ∩ B
- {x ∈ E | P(x) ∨ Q(x)} = A ∪ B
- {x ∈ E | ¬P(x)} = Ac
Les lois de De Morgan ont donc aussi une version ensembliste :
📐 À retenir
Lois de De Morgan ensemblistes :
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Le complémentaire d’une union est l’intersection des complémentaires, et inversement.
Erreurs fréquentes
Voici les pièges les plus courants en partiel de logique et ensembles en L1.
⚠️ Erreur fréquente
Confondre réciproque et contraposée. La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P. La contraposée est ¬Q ⇒ ¬P. Seule la contraposée est équivalente à l’implication de départ. La réciproque peut être fausse même si l’implication est vraie.
⚠️ Erreur fréquente
Nier une implication en une implication. La négation de P ⇒ Q n’est PAS ¬P ⇒ ¬Q, ni P ⇒ ¬Q. C’est P ∧ ¬Q. Beaucoup d’étudiants écrivent machinalement « si non P alors non Q » en croyant nier, ce qui est faux.
⚠️ Erreur fréquente
Voir aussi : la topologie générale en L1 pour compléter vos connaissances.
Oublier de changer le connecteur en niant. ¬(P ∧ Q) n’est PAS ¬P ∧ ¬Q. Par De Morgan, c’est ¬P ∨ ¬Q. Le ET devient OU (et inversement).
⚠️ Erreur fréquente
Écrire ∅ ∈ A au lieu de ∅ ⊂ A. L’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble (∅ ⊂ A est toujours vrai). Mais ∅ ∈ A n’est vrai que si A contient l’ensemble vide comme élément, ce qui est rare. Ne pas confondre.
Exercices corrigés
✏️ Exercice 1
Construis la table de vérité de la proposition (P ∧ Q) ⇒ P.
✅ Voir la correction
Dressons la table :
P = V, Q = V → P ∧ Q = V → V ⇒ V = V
P = V, Q = F → P ∧ Q = F → F ⇒ V = V
P = F, Q = V → P ∧ Q = F → F ⇒ F = V
P = F, Q = F → P ∧ Q = F → F ⇒ F = V
La proposition (P ∧ Q) ⇒ P est toujours vraie : c’est une tautologie. C’est logique : si P et Q sont vraies ensemble, alors P est forcément vraie.
✏️ Exercice 2
Nie la proposition suivante : « Pour tout entier n, si n est pair alors n² est pair. »
Formellement : ∀n ∈ ℤ, (n pair ⇒ n² pair)
✅ Voir la correction
On procède étape par étape :
1. On nie le ∀ → on obtient ∃ :
∃n ∈ ℤ, ¬(n pair ⇒ n² pair)
2. On nie l’implication → P ∧ ¬Q :
∃n ∈ ℤ, (n pair ∧ n² impair)
En français : « Il existe un entier n qui est pair et dont le carré est impair. »
Cette négation est fausse (un tel entier n’existe pas), ce qui confirme que la proposition initiale est vraie.
✏️ Exercice 3
Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4} et B = {3, 4, 5, 6}.
Détermine : A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, Ac (dans E).
✅ Voir la correction
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (tous les éléments présents dans A ou B)
A ∩ B = {3, 4} (éléments communs)
A \ B = {1, 2} (éléments de A qui ne sont pas dans B)
B \ A = {5, 6} (éléments de B qui ne sont pas dans A)
Ac = {5, 6, 7, 8} (éléments de E qui ne sont pas dans A)
✏️ Exercice 4
Montre par double inclusion que pour tous ensembles A et B : A ∩ (A ∪ B) = A.
✅ Voir la correction
Sens ⊂ : Soit x ∈ A ∩ (A ∪ B). Alors x ∈ A et x ∈ A ∪ B. En particulier, x ∈ A. Donc A ∩ (A ∪ B) ⊂ A.
Nous vous conseillons également notre cours sur les fonctions de plusieurs variables.
Sens ⊃ : Soit x ∈ A. Puisque x ∈ A, on a x ∈ A ∪ B (car A ⊂ A ∪ B). Donc x ∈ A et x ∈ A ∪ B, ce qui donne x ∈ A ∩ (A ∪ B). Donc A ⊂ A ∩ (A ∪ B).
Par double inclusion : A ∩ (A ∪ B) = A. C’est la loi d’absorption.
✏️ Exercice 5
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.
a) ∀n ∈ ℕ, n² ≥ n
b) ∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0
c) ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y = 0
✅ Voir la correction
a) VRAIE. Pour n = 0 : 0² = 0 ≥ 0. Pour n ≥ 1 : n² = n × n ≥ n × 1 = n (car n ≥ 1). Donc ∀n ∈ ℕ, n² ≥ n.
b) FAUSSE. Pour tout x ∈ ℝ, x² ≥ 0, donc x² + 1 ≥ 1 > 0. Il n’existe aucun réel x tel que x² + 1 = 0.
c) VRAIE. Pour tout x ∈ ℝ, il suffit de prendre y = -x. Alors x + y = x + (-x) = 0. L’élément y dépend de x, ce qui est permis puisque ∃y vient après ∀x.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre ⇒ et ⇔ ?
L’implication P ⇒ Q signifie que si P est vrai, alors Q l’est forcément. Mais Q peut être vrai sans que P le soit. L’équivalence P ⇔ Q est plus forte : P et Q sont toujours vrais ou faux en même temps. L’équivalence revient à avoir P ⇒ Q et Q ⇒ P simultanément.
Pourquoi « faux implique n’importe quoi » ?
C’est une convention qui rend le calcul logique cohérent. Si l’hypothèse P est fausse, l’implication P ⇒ Q ne peut pas être contredite : on ne peut pas trouver de cas où P est vrai et Q est faux (puisque P n’est jamais vrai). L’implication est donc vraie « par défaut ». C’est ce qu’on appelle une implication « vide » ou « vacuously true ».
Comment prouver qu’un ensemble est inclus dans un autre ?
Pour montrer A ⊂ B, prends un élément générique x ∈ A et montre, par un raisonnement logique, que x ∈ B. Tu ne dois pas vérifier un par un les éléments (sauf si les ensembles sont finis et petits). Pour une égalité A = B, fais la double inclusion : montre A ⊂ B puis B ⊂ A.
Les lois de De Morgan marchent-elles aussi pour les ensembles ?
Oui, exactement. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc et (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. C’est la traduction directe des lois de De Morgan logiques dans le langage des ensembles. Le complémentaire joue le rôle de la négation, l’union celui du OU, l’intersection celui du ET.
Faut-il tout prouver avec des tables de vérité ?
Non. Les tables de vérité fonctionnent pour des propositions sans quantificateur, avec un nombre fini de variables propositionnelles. Dès qu’il y a des quantificateurs (∀, ∃), les tables ne suffisent plus et tu dois passer à des raisonnements (démonstration directe, par contraposée, par l’absurde, etc.). En pratique, les tables sont surtout utiles pour vérifier des équivalences logiques simples ou s’entraîner en début de cours.
Articles du même niveau (Licence 1)
- la géométrie analytique en L1
- les probabilités et statistiques en L1
- la topologie générale en L1
- les espaces vectoriels et matrices
- les fonctions de plusieurs variables
- les équations différentielles en L1
Pour aller plus loin
- la combinatoire et le dénombrement (niveau Terminale)
- l’intégration et les équations différentielles (niveau Licence 2)
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
