Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i→, j→, k→), on repère chaque point par trois coordonnées (x ; y ; z). Pour décrire des objets comme une droite ou un plan, on n’utilise plus une seule équation comme dans le plan : on s’appuie sur des vecteurs. Une droite est entièrement définie par un point et un vecteur directeur ; un plan est entièrement défini par un point et un vecteur normal. Ce cours de Terminale spécialité maths te donne toutes les méthodes pour écrire l’équation de droite et de plan dans l’espace, lire un vecteur normal, et étudier les positions relatives d’une droite et d’un plan.
1. Représentation paramétrique d’une droite dans l’espace
Une droite de l’espace est déterminée par un point qui lui appartient et un vecteur directeur, c’est-à-dire un vecteur non nul qui donne la direction de la droite. Contrairement au plan, une droite de l’espace ne possède pas d’équation cartésienne unique : on la décrit par un système d’équations paramétriques.
📐 Définition
Soit A(xA ; yA ; zA) un point et u→(a ; b ; c) un vecteur non nul. La droite (d) passant par A et de vecteur directeur u→ est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que AM→ = t·u→, avec t un réel. On obtient la représentation paramétrique :
x = xA + a·t
y = yA + b·t
z = zA + c·t
avec t ∈ ℝ
Le réel t s’appelle le paramètre. À chaque valeur de t correspond un unique point de la droite, et réciproquement. Par exemple, t = 0 donne le point A lui-même ; t = 1 donne le point A + u→.
Comment trouver une représentation paramétrique en pratique ?
- On a un point et un vecteur directeur : on applique directement la formule ci-dessus.
- On a deux points A et B : un vecteur directeur est AB→, de coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA). On choisit ensuite l’un des deux points comme point de départ.
Attention : la représentation paramétrique d’une droite n’est pas unique. On peut changer de point de départ (n’importe quel point de la droite convient) ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul. Les systèmes obtenus décrivent la même droite.
Vérifier qu’un point appartient à une droite
Pour savoir si un point P(xP ; yP ; zP) appartient à la droite, on cherche s’il existe une seule et même valeur de t qui vérifie les trois équations. On résout la première (ou la plus simple), on trouve t, puis on vérifie que cette valeur convient aussi aux deux autres. Si une équation n’est pas satisfaite, le point n’est pas sur la droite.
✏️ Exercice 1
On donne A(1 ; 2 ; −1) et B(3 ; −2 ; 5). Détermine une représentation paramétrique de la droite (AB), puis vérifie si le point P(5 ; −6 ; 11) appartient à (AB).
Voir la correction
Vecteur directeur : AB→(3 − 1 ; −2 − 2 ; 5 − (−1)) = AB→(2 ; −4 ; 6).
Représentation paramétrique (en partant de A) :
x = 1 + 2·t
y = 2 − 4·t
z = −1 + 6·t
avec t ∈ ℝ
Le point P appartient-il à (AB) ? On cherche t tel que x = 5 : 1 + 2t = 5, donc t = 2. On teste cette valeur dans les autres équations :
y = 2 − 4×2 = 2 − 8 = −6 ✓ (égal à −6)
z = −1 + 6×2 = −1 + 12 = 11 ✓ (égal à 11)
La même valeur t = 2 convient aux trois équations : P appartient bien à (AB).
2. Vecteur normal et équation cartésienne d’un plan
Un plan de l’espace peut être défini de deux façons : par un point et deux vecteurs non colinéaires (représentation paramétrique du plan), ou — beaucoup plus pratique en Terminale — par un point et un vecteur normal.
📐 Définition — Vecteur normal
Un vecteur n→ non nul est un vecteur normal à un plan (P) lorsqu’il est orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il suffit qu’il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (P). Concrètement, n→ est « perpendiculaire » au plan.
La propriété centrale relie le vecteur normal et le produit scalaire : un point M appartient au plan (P) passant par A et de vecteur normal n→ si et seulement si AM→ est orthogonal à n→, c’est-à-dire n→ · AM→ = 0. En développant ce produit scalaire avec n→(a ; b ; c), on obtient l’équation cartésienne du plan.
📐 Formule — Équation cartésienne d’un plan
Si n→(a ; b ; c) est un vecteur normal au plan (P), alors (P) admet une équation cartésienne de la forme :
a·x + b·y + c·z + d = 0
où a, b, c sont les coordonnées du vecteur normal (non tous nuls) et d un réel. Réciproquement, toute équation de cette forme est l’équation d’un plan dont un vecteur normal est n→(a ; b ; c).
C’est le point fort de cette écriture : les coefficients de x, y et z dans l’équation se lisent directement comme les coordonnées d’un vecteur normal. Par exemple, le plan d’équation 2x − 3y + z − 5 = 0 admet pour vecteur normal n→(2 ; −3 ; 1).
Trouver l’équation cartésienne d’un plan
La méthode classique suit deux étapes :
- Étape 1 : on a un vecteur normal n→(a ; b ; c) (donné, ou obtenu en cherchant un vecteur orthogonal à deux vecteurs du plan). On écrit a·x + b·y + c·z + d = 0.
- Étape 2 : on détermine d en remplaçant x, y, z par les coordonnées d’un point connu du plan.
✏️ Exercice 2
Détermine une équation cartésienne du plan (P) passant par le point A(2 ; −1 ; 3) et admettant n→(1 ; 4 ; −2) comme vecteur normal. Le point B(0 ; 0 ; −4) appartient-il à (P) ?
Voir la correction
Étape 1 : les coordonnées du vecteur normal donnent les coefficients. L’équation est de la forme :
1·x + 4·y − 2·z + d = 0, soit x + 4y − 2z + d = 0.
Étape 2 : on remplace par les coordonnées de A(2 ; −1 ; 3) :
2 + 4×(−1) − 2×3 + d = 0
2 − 4 − 6 + d = 0
−8 + d = 0, donc d = 8.
Une équation cartésienne de (P) est : x + 4y − 2z + 8 = 0.
Le point B(0 ; 0 ; −4) : on remplace : 0 + 4×0 − 2×(−4) + 8 = 0 + 0 + 8 + 8 = 16 ≠ 0.
Comme on n’obtient pas 0, B n’appartient pas à (P).
💡 Astuce
Pour vérifier si un point appartient à un plan, il suffit de remplacer ses coordonnées dans le membre de gauche de l’équation : si le résultat vaut 0, le point est dans le plan ; sinon, il ne l’est pas. C’est beaucoup plus rapide que de manipuler des vecteurs. De même, deux plans sont parallèles exactement quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).
3. Positions relatives d’une droite et d’un plan
Lorsqu’on a une droite (d) de vecteur directeur u→ et un plan (P) de vecteur normal n→, trois situations sont possibles. La clé pour les distinguer est le produit scalaire u→ · n→.
| Situation | Condition | Intersection |
|---|---|---|
| Droite sécante au plan | u→ · n→ ≠ 0 | Un seul point |
| Droite parallèle au plan (non incluse) | u→ · n→ = 0 et un point de (d) ∉ (P) | Aucun point (∅) |
| Droite incluse dans le plan | u→ · n→ = 0 et un point de (d) ∈ (P) | La droite entière |
Le raisonnement est simple. Si u→ · n→ ≠ 0, la direction de la droite n’est pas « contenue » dans le plan : la droite traverse (P) en un unique point, elle est sécante. Si au contraire u→ · n→ = 0, le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal, donc la droite est parallèle au plan (au sens large). Il faut alors tester un point : si un point de la droite est dans le plan, alors toute la droite y est ; sinon, la droite est strictement parallèle et ne le coupe jamais.
Recherche du point d’intersection
Lorsque la droite est sécante (u→ · n→ ≠ 0), on trouve le point d’intersection en injectant la représentation paramétrique de la droite dans l’équation cartésienne du plan. On remplace x, y, z par leurs expressions en fonction de t, on résout l’équation obtenue (du premier degré en t), on trouve une valeur unique de t, puis on calcule les coordonnées du point en reportant ce t dans la représentation paramétrique.
✏️ Exercice 3
On considère la droite (d) de représentation paramétrique x = 1 + 2t, y = −1 + t, z = 3 − t (avec t ∈ ℝ) et le plan (P) d’équation x + y + 2z − 7 = 0. Étudie la position relative de (d) et (P), puis détermine leur intersection éventuelle.
Voir la correction
Vecteur directeur de (d) : u→(2 ; 1 ; −1). Vecteur normal de (P) : n→(1 ; 1 ; 2).
Produit scalaire : u→ · n→ = 2×1 + 1×1 + (−1)×2 = 2 + 1 − 2 = 1.
Comme u→ · n→ = 1 ≠ 0, la droite (d) est sécante au plan (P) : il existe un unique point d’intersection.
Recherche du point : on remplace x, y, z dans l’équation de (P) :
(1 + 2t) + (−1 + t) + 2(3 − t) − 7 = 0
1 + 2t − 1 + t + 6 − 2t − 7 = 0
(2t + t − 2t) + (1 − 1 + 6 − 7) = 0
t − 1 = 0, donc t = 1.
On reporte t = 1 dans la représentation paramétrique :
x = 1 + 2×1 = 3
y = −1 + 1 = 0
z = 3 − 1 = 2
Le point d’intersection est I(3 ; 0 ; 2).
⚠️ Erreur fréquente
Beaucoup d’élèves confondent vecteur directeur et vecteur normal. Pour une droite, on utilise un vecteur directeur (qui suit la droite) ; pour un plan, on lit un vecteur normal (perpendiculaire au plan) directement dans les coefficients de l’équation cartésienne. Autre piège : conclure « parallèle » dès que u→ · n→ = 0, sans tester un point. Si u→ · n→ = 0, la droite peut être strictement parallèle ou incluse dans le plan : il faut vérifier si un point de la droite vérifie l’équation du plan pour trancher.
4. Plans particuliers et cas remarquables
Certaines équations cartésiennes correspondent à des plans bien orientés par rapport au repère. Savoir les reconnaître fait gagner du temps.
- Plans de coordonnées : le plan (xOy) a pour équation z = 0 (vecteur normal k→(0 ; 0 ; 1)). De même, (xOz) a pour équation y = 0 et (yOz) a pour équation x = 0.
- Plans parallèles à un plan de coordonnées : une équation du type z = k (k constante) définit un plan parallèle à (xOy). De même x = k est parallèle à (yOz), et y = k parallèle à (xOz).
- Coefficient nul : si l’un des coefficients a, b, c est nul, le plan est parallèle à l’axe correspondant. Par exemple 2x + 3y − 6 = 0 (pas de z) définit un plan parallèle à l’axe (Oz).
Enfin, deux plans non parallèles se coupent toujours selon une droite : à partir du système de leurs deux équations cartésiennes, on peut retrouver une représentation paramétrique de cette droite d’intersection en choisissant l’une des variables comme paramètre.
FAQ — Équation de droite et de plan dans l’espace
Quelle est la différence entre représentation paramétrique et équation cartésienne ?
La représentation paramétrique décrit un objet « point par point » : à chaque valeur du paramètre t correspond un point. C’est la forme utilisée pour les droites dans l’espace. L’équation cartésienne, du type a·x + b·y + c·z + d = 0, caractérise directement les points d’un plan par une condition sur leurs coordonnées. Une droite de l’espace n’a pas d’équation cartésienne unique ; un plan, lui, se décrit très commodément par une équation cartésienne.
Comment trouver un vecteur normal à partir d’une équation de plan ?
C’est immédiat : les coefficients de x, y et z dans l’équation cartésienne sont les coordonnées d’un vecteur normal. Pour le plan d’équation 3x − y + 2z + 7 = 0, un vecteur normal est n→(3 ; −1 ; 2). N’importe quel multiple non nul de ce vecteur est aussi un vecteur normal.
Comment savoir si une droite est parallèle à un plan ?
On calcule le produit scalaire u→ · n→ entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Si u→ · n→ = 0, la droite est parallèle au plan. Pour préciser : on teste ensuite si un point de la droite appartient au plan. Si oui, la droite est incluse dans le plan ; si non, elle lui est strictement parallèle (aucun point commun). Si u→ · n→ ≠ 0, la droite est sécante et coupe le plan en un point unique.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
