La médiatrice d’un segment est une notion fondamentale de géométrie en 6ème. Tu vas la rencontrer dans de nombreux chapitres : la symétrie axiale, le cercle, les triangles, et plus tard les droites remarquables. Savoir la définir, la construire et utiliser ses propriétés te servira tout au long du collège et même au lycée.
Dans cette leçon complète, tu vas apprendre ce qu’est la médiatrice d’un segment, comprendre sa propriété d’équidistance, apprendre à la construire pas à pas avec un compas ou avec une équerre, et étudier ses liens avec la symétrie axiale et le cercle. Des exercices corrigés et une FAQ complètent la leçon pour que tu maîtrises le sujet de A à Z.
Définition de la médiatrice
À retenir Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les parallèles et perpendiculaires.
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui est :
- perpendiculaire au segment [AB],
- et qui passe par le milieu de [AB].
On la note souvent (d) ou (Δ).
Pour bien comprendre cette définition, décomposons-la en deux parties.
Elle passe par le milieu
Le milieu d’un segment [AB] est le point M situé exactement à égale distance de A et de B. Si le segment [AB] mesure 8 cm, le milieu M est à 4 cm de A et à 4 cm de B. La médiatrice passe forcément par ce point M.
Elle est perpendiculaire au segment
Perpendiculaire signifie qu’elle forme un angle droit (90°) avec le segment [AB]. La médiatrice « coupe » le segment en plein milieu et à angle droit, comme un T parfaitement centré.
Si tu connais le milieu du segment et que tu sais tracer une droite perpendiculaire, tu sais tracer la médiatrice. Mais il existe des méthodes de construction plus élégantes, que nous verrons plus bas.
Propriété d’équidistance
La propriété d’équidistance est la propriété la plus puissante de la médiatrice. C’est elle qui rend la médiatrice si utile dans les constructions géométriques et les démonstrations.
À retenir
Propriété directe : Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB], alors M est à égale distance de A et de B : MA = MB. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’angle et la bissectrice.
Réciproque : Si un point M est à égale distance de A et de B (MA = MB), alors M appartient à la médiatrice de [AB].
Cette propriété fonctionne dans les deux sens, ce qui est rare et précieux en géométrie.
Exemple concret
Prends un segment [AB] de 6 cm. Le milieu I est à 3 cm de chaque extrémité. Trace la médiatrice (d). Choisis n’importe quel point P sur cette médiatrice. Mesure PA et PB avec ton compas : tu trouveras toujours PA = PB, quel que soit le point P que tu choisis sur (d).
Inverse : si tu places un point Q tel que QA = QB = 5 cm, alors Q se trouve forcément sur la médiatrice de [AB]. Tu peux le vérifier en traçant la médiatrice et en constatant que Q est bien dessus.
Utilisation dans les exercices
Quand un exercice te dit « le point M est sur la médiatrice de [AB] », tu peux en déduire immédiatement que MA = MB. Et inversement, si on te donne MA = MB, tu peux conclure que M est sur la médiatrice de [AB]. C’est un outil de raisonnement que tu utiliseras très souvent.
Astuce
Retiens cette phrase simple : « La médiatrice, c’est l’ensemble des points à égale distance des deux extrémités. » Si tu te souviens de cette phrase, tu retrouves la propriété et sa réciproque. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les définitions des triangles.
Construire la médiatrice à la règle et au compas
La construction au compas est la méthode la plus précise et la plus utilisée en cours de maths. Tu n’as besoin que d’un compas et d’une règle (pas besoin d’équerre ni de rapporteur). Voici les étapes détaillées.
Matériel nécessaire
- Un compas
- Une règle (non graduée suffit)
- Un crayon à papier bien taillé
Étapes de construction
Étape 1 : Trace le segment [AB] sur ta feuille. Note les points A et B.
Étape 2 : Ouvre ton compas à une ouverture supérieure à la moitié de AB. C’est la condition la plus importante. Si AB = 8 cm, ouvre ton compas à au moins 5 cm (plus de la moitié). Si l’ouverture est trop petite, les arcs ne se croiseront pas.
Étape 3 : Place la pointe du compas sur le point A. Trace un arc de cercle qui passe au-dessus et en-dessous du segment [AB].
Étape 4 : Sans changer l’ouverture du compas, place la pointe sur le point B. Trace un deuxième arc de cercle, de la même manière, au-dessus et en-dessous du segment.
Étape 5 : Les deux arcs se coupent en deux points. Appelle-les P et Q (un au-dessus du segment, un en-dessous).
Étape 6 : Trace la droite qui passe par P et Q avec ta règle. Cette droite est la médiatrice du segment [AB].
À retenir
Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ? Les deux points P et Q sont à égale distance de A et de B (car les arcs ont le même rayon). D’après la propriété d’équidistance, P et Q sont sur la médiatrice. La droite (PQ) est donc la médiatrice de [AB].
Vérification
Pour vérifier ta construction :
- La médiatrice doit passer par le milieu I de [AB]. Mesure AI et IB : tu dois trouver la même longueur.
- L’angle entre la médiatrice et le segment doit être de 90°. Vérifie avec ton équerre.
Astuce
Si tes arcs ne se croisent pas, c’est que l’ouverture de ton compas est trop petite. Ouvre-le davantage et recommence. En général, une ouverture d’environ les deux tiers de la longueur du segment donne des arcs qui se croisent bien et une construction lisible.
Construire la médiatrice avec l’équerre
Si tu n’as pas de compas ou si tu veux une méthode plus rapide (mais moins élégante), tu peux construire la médiatrice avec une règle graduée et une équerre.
Étapes de construction
Étape 1 : Trace le segment [AB] et mesure sa longueur avec ta règle. Par exemple, AB = 10 cm.
Étape 2 : Calcule la moitié de cette longueur : 10 / 2 = 5 cm. Place un point I à 5 cm de A (et donc à 5 cm de B). C’est le milieu du segment.
Étape 3 : Place ton équerre sur le segment [AB], de façon que le coin de l’angle droit soit exactement sur le point I.
Étape 4 : Trace la droite le long du bord de l’équerre qui est perpendiculaire à [AB]. Cette droite est la médiatrice.
Comparaison des deux méthodes
| Critère | Règle et compas | Règle et équerre |
|---|---|---|
| Précision | Très précise | Précise (dépend du placement du milieu) |
| Matériel | Compas + règle | Équerre + règle graduée |
| Rapidité | Un peu plus long | Rapide |
| En contrôle | Souvent demandée | Parfois acceptée |
Astuce
En contrôle, si l’énoncé dit « à la règle et au compas », tu dois utiliser le compas. Les arcs de cercle doivent être visibles sur ta copie : c’est la preuve de ta construction. Ne les efface pas. Si l’énoncé ne précise pas, tu peux utiliser la méthode de ton choix.
Médiatrice et symétrie axiale
La médiatrice d’un segment est directement liée à la symétrie axiale, un chapitre majeur de la 6ème. Comprendre ce lien te donne une vision plus profonde des deux notions.
À retenir
Le point B est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) si et seulement si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Autrement dit, si tu plies ta feuille le long de la médiatrice, le point A se superpose exactement au point B. La médiatrice joue le rôle d’axe de symétrie entre les deux points.
Trouver le symétrique d’un point
Pour trouver le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) :
- Trace la perpendiculaire à (d) passant par A.
- Mesure la distance entre A et le point d’intersection I avec (d).
- Reporte cette même distance de l’autre côté de (d) sur la perpendiculaire. Tu obtiens le point B.
La droite (d) est alors la médiatrice de [AB], car elle passe par le milieu I et elle est perpendiculaire à [AB].
Vérifier une symétrie avec la médiatrice
Si tu dois vérifier que deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite (d), vérifie que :
- (d) est perpendiculaire à [AB],
- (d) passe par le milieu de [AB].
Si les deux conditions sont remplies, (d) est la médiatrice de [AB], et A et B sont bien symétriques par rapport à (d).
Médiatrice et cercle
La médiatrice et le cercle sont liés par la propriété d’équidistance. Ce lien se manifeste de deux manières.
Le centre d’un cercle passant par deux points
Si un cercle passe par deux points A et B, alors son centre O est à égale distance de A et de B (OA = OB = rayon). D’après la réciproque de la propriété d’équidistance, O est sur la médiatrice de [AB].
À retenir
Le centre d’un cercle passant par deux points A et B se trouve toujours sur la médiatrice du segment [AB].
Cette propriété est très utile. Si tu connais deux points d’un cercle et que tu dois trouver le centre, trace la médiatrice du segment formé par ces deux points : le centre est quelque part sur cette droite.
Trouver le centre d’un cercle passant par trois points
Si un cercle passe par trois points A, B et C (non alignés), son centre est à l’intersection des médiatrices de [AB] et de [BC]. C’est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Tu reverras cette construction en 5ème et en 4ème.
La médiatrice comme corde et diamètre
Dans un cercle, si une droite passe par le centre et est perpendiculaire à une corde [AB], alors elle coupe cette corde en son milieu. C’est encore la médiatrice de la corde. Le diamètre perpendiculaire à une corde est la médiatrice de cette corde.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre médiatrice et milieu.
Le milieu est un point. La médiatrice est une droite. La médiatrice passe par le milieu, mais elle ne se limite pas à ce point : elle s’étend à l’infini des deux côtés. Quand on te demande de tracer la médiatrice, il faut tracer une droite, pas juste placer un point.
️ Erreur fréquente
Oublier que la médiatrice est perpendiculaire.
Certains élèves tracent une droite qui passe par le milieu mais qui n’est pas perpendiculaire au segment. Cette droite n’est pas la médiatrice. La médiatrice doit remplir les deux conditions : passer par le milieu ET être perpendiculaire.
️ Erreur fréquente
Changer l’ouverture du compas entre les deux arcs.
Lors de la construction au compas, tu traces deux arcs de cercle : un centré en A, un centré en B. L’ouverture du compas doit être la même pour les deux arcs. Si tu changes l’ouverture entre les deux, les points d’intersection ne seront pas sur la médiatrice et ta construction sera fausse.
️ Erreur fréquente
Effacer les arcs de cercle.
En contrôle, les arcs de cercle sont la preuve de ta construction. Si tu les effaces, le correcteur ne peut pas vérifier que tu as bien utilisé la méthode au compas. Laisse les arcs visibles sur ta copie, même s’ils ne sont pas très esthétiques.
️ Erreur fréquente
Confondre médiatrice et bissectrice.
La médiatrice coupe un segment en deux parties égales et à angle droit. La bissectrice coupe un angle en deux angles égaux. Ce sont deux notions différentes. La médiatrice concerne un segment, la bissectrice concerne un angle.
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Trace un segment [AB] de 8 cm. Construis sa médiatrice à la règle et au compas. Vérifie que la médiatrice passe bien par le milieu I de [AB] en mesurant AI et IB.
Voir la correction
1. Trace [AB] = 8 cm.
2. Ouvre le compas à plus de 4 cm (par exemple 5 cm).
3. Pointe en A, trace un arc au-dessus et en-dessous de [AB].
4. Sans changer l’ouverture, pointe en B, trace un arc au-dessus et en-dessous.
5. Les arcs se coupent en deux points P et Q. Trace la droite (PQ).
6. Vérification : la droite (PQ) coupe [AB] au point I. Mesure AI = 4 cm et IB = 4 cm. La médiatrice passe bien par le milieu.
️ Exercice 2
Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB]. On sait que MA = 5 cm. Que vaut MB ?
Voir la correction
M est sur la médiatrice de [AB]. D’après la propriété d’équidistance, MA = MB.
Comme MA = 5 cm, alors MB = 5 cm.
️ Exercice 3
On a un segment [AB] de 10 cm. Le point P est tel que PA = PB = 7 cm. Le point P est-il sur la médiatrice de [AB] ? Justifie.
Voir la correction
On sait que PA = PB = 7 cm. Le point P est à égale distance de A et de B.
D’après la réciproque de la propriété d’équidistance, si PA = PB, alors P appartient à la médiatrice de [AB].
Réponse : Oui, P est sur la médiatrice de [AB].
️ Exercice 4
Trace un triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm. Construis les médiatrices des segments [AB] et [BC]. Appelle O leur point d’intersection. Mesure OA, OB et OC. Que remarques-tu ?
Voir la correction
1. Trace le triangle ABC aux dimensions données.
2. Construis la médiatrice de [AB] au compas.
3. Construis la médiatrice de [BC] au compas.
4. Les deux médiatrices se coupent en un point O.
5. Mesure OA, OB et OC : tu trouves OA = OB = OC (environ 3,2 cm).
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle passe par les trois sommets A, B et C, et son rayon est OA = OB = OC.
️ Exercice 5
A et B sont deux points tels que AB = 6 cm. Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite (d). Que peut-on dire de la droite (d) ?
Voir la correction
Si B est le symétrique de A par rapport à (d), alors (d) est la médiatrice du segment [AB].
La droite (d) est perpendiculaire à [AB] et passe par le milieu I de [AB], où AI = IB = 3 cm.
FAQ
Combien de médiatrices un segment possède-t-il ?
Un segment n’a qu’une seule médiatrice. En revanche, un triangle a trois médiatrices (une par côté), et elles se coupent toutes les trois en un même point, appelé centre du cercle circonscrit.
La médiatrice passe-t-elle toujours par le milieu du segment ?
Oui, toujours. C’est l’une des deux conditions de la définition. Si une droite ne passe pas par le milieu, ce n’est pas la médiatrice, même si elle est perpendiculaire au segment.
Quelle différence entre médiatrice et hauteur d’un triangle ?
La médiatrice d’un côté est perpendiculaire à ce côté et passe par son milieu. La hauteur issue d’un sommet est perpendiculaire au côté opposé et passe par le sommet (pas forcément par le milieu du côté). Ces deux droites sont perpendiculaires au même côté, mais elles ne passent pas par le même point (sauf cas particulier du triangle isocèle).
Pourquoi la construction au compas est-elle si précise ?
Le compas garantit que les deux arcs ont le même rayon. Les points d’intersection des arcs sont automatiquement à égale distance de A et de B, ce qui place ces points exactement sur la médiatrice. Tu n’as pas besoin de mesurer le milieu ni de vérifier la perpendicularité : la construction au compas le fait tout seul. C’est pour cette raison que les mathématiciens préfèrent cette méthode depuis l’Antiquité.
La médiatrice sera-t-elle au brevet ?
Oui, la médiatrice fait partie du programme de 6ème et revient régulièrement au brevet. Tu peux être interrogé sur sa définition, sa construction (au compas ou à l’équerre), sa propriété d’équidistance et son lien avec la symétrie axiale. Maîtriser la médiatrice dès la 6ème te donne une base solide pour les années suivantes.
Articles de 6ème à découvrir
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
