Bissectrice d’un angle – Cours de Maths 6ème

Tu as sûrement déjà entendu ton prof de maths parler de la bissectrice d’un angle. Mais sais-tu vraiment ce que c’est, comment la tracer, et pourquoi elle est si utile en géométrie ? Dans ce cours complet, tu vas apprendre toutes les facettes de la bissectrice : sa définition, deux méthodes de construction (au rapporteur et au compas), sa propriété d’équidistance et son lien avec la symétrie axiale. Tu trouveras aussi des exercices corrigés pour t’entraîner et une FAQ qui répond aux questions les plus posées par les élèves de 6ème.

C’est quoi une bissectrice ?

Imagine un angle formé par deux demi-droites qui partent du même point (le sommet). La bissectrice, c’est la demi-droite qui part de ce sommet et qui coupe l’angle en deux angles exactement égaux. Le mot vient du latin bi (deux) et secare (couper) : elle coupe littéralement l’angle en deux parts égales. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur la construction de la médiatrice.

Si tu as un angle de 80°, sa bissectrice crée deux angles de 40° de chaque côté. Si l’angle mesure 120°, la bissectrice donne deux angles de 60°.

Quelques repères visuels : la bissectrice passe toujours par le sommet de l’angle. Elle se situe « au milieu » des deux côtés de l’angle. Sur un schéma, on la représente souvent en pointillés ou avec un petit arc de part et d’autre pour montrer les deux angles égaux.

Construire la bissectrice au rapporteur

La méthode au rapporteur est la plus intuitive. Voici la marche à suivre, étape par étape :

Étape 1 : Mesurer l’angle

Place le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle. Aligne le zéro du rapporteur avec l’un des côtés de l’angle. Lis la graduation où passe le deuxième côté : c’est la mesure de ton angle. Par exemple, tu trouves 74°.

Étape 2 : Diviser par 2

Calcule la moitié de la mesure obtenue. Pour 74°, la moitié vaut 37°. C’est la mesure de chaque demi-angle que la bissectrice va créer. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur mesurer un angle.

Étape 3 : Placer le point

Sans bouger le rapporteur, repère la graduation correspondant à la moitié (37° dans notre exemple). Marque un point à cette graduation.

Étape 4 : Tracer la demi-droite

Avec ta règle, trace la demi-droite qui part du sommet et passe par le point que tu viens de marquer. C’est ta bissectrice.

Construire la bissectrice au compas (pas à pas)

La construction au compas est la méthode classique, celle que ton prof attend dans une copie de géométrie. Elle ne nécessite ni mesure d’angle ni calcul : tout repose sur des arcs de cercle.

Étape 1 : Tracer un arc depuis le sommet

Place la pointe sèche du compas sur le sommet S de l’angle. Trace un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle. Tu obtiens deux points d’intersection : appelle-les A (sur un côté) et B (sur l’autre côté). L’ouverture du compas n’a pas d’importance, tant que l’arc coupe bien les deux côtés.

Étape 2 : Tracer deux arcs depuis A et B

Sans changer l’ouverture du compas (ou en choisissant une ouverture suffisante), place la pointe sèche sur A et trace un arc à l’intérieur de l’angle. Puis fais la même chose depuis B, avec la même ouverture. Les deux arcs se croisent en un point : appelle-le M. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le cercle et ses propriétés.

Étape 3 : Tracer la bissectrice

Trace la demi-droite [SM). C’est la bissectrice de l’angle. Les angles formés de part et d’autre sont rigoureusement égaux, sans avoir eu besoin de mesurer quoi que ce soit.

Pourquoi ça marche ?

Les points A et B sont à la même distance de S (même ouverture de compas). Le point M est à la même distance de A et de B (mêmes arcs). Le point M se trouve donc sur la médiatrice du segment [AB], ce qui garantit que l’angle ASM est égal à l’angle BSM.

Tableau comparatif des 2 méthodes

Critère	Méthode au rapporteur	Méthode au compas
Instruments nécessaires	Rapporteur + règle	Compas + règle
Besoin de mesurer l’angle	Oui	Non
Calcul nécessaire	Division par 2	Aucun
Précision	Dépend de la lecture du rapporteur (± 1°)	Très précise (construction exacte)
Rapidité	Rapide	Un peu plus longue
Acceptée en évaluation	Oui (si l’énoncé ne précise pas la méthode)	Oui (méthode privilégiée au collège)
Difficulté	Facile	Moyenne (demande de la rigueur)

Au collège, la méthode au compas est la plus valorisée car elle est exacte. Mais si l’énoncé d’un exercice dit « construis la bissectrice » sans préciser l’instrument, les deux méthodes sont acceptées.

Propriété d’équidistance

La bissectrice ne sert pas seulement à couper un angle en deux. Elle possède une propriété géométrique très puissante que les concurrents ne mentionnent presque jamais : la propriété d’équidistance.

Que signifie « distance à un côté » ?

La distance d’un point à une droite, c’est la longueur du segment perpendiculaire tracé depuis ce point jusqu’à la droite. C’est le chemin le plus court entre le point et la droite.

Prends un point P situé sur la bissectrice de l’angle formé par les droites (d₁) et (d₂). Si tu traces la perpendiculaire de P à (d₁), tu obtiens un segment de longueur h₁. Si tu traces la perpendiculaire de P à (d₂), tu obtiens un segment de longueur h₂. La propriété d’équidistance te dit que h₁ = h₂.

À quoi ça sert concrètement ?

Cette propriété est utilisée pour construire le cercle inscrit d’un triangle. Le centre du cercle inscrit est le point d’intersection des trois bissectrices du triangle. Comme ce point est à égale distance des trois côtés, on peut tracer un cercle tangent aux trois côtés : c’est le cercle inscrit.

En 6ème, tu ne construiras pas encore le cercle inscrit, mais comprendre la propriété d’équidistance te donne une avance solide pour la suite du collège.

Bissectrice et symétrie axiale

Voici un lien que très peu de cours mettent en avant : la bissectrice est un axe de symétrie de l’angle.

Si tu plies ta feuille le long de la bissectrice, les deux côtés de l’angle se superposent parfaitement. C’est la définition même d’un axe de symétrie. Cela signifie que chaque côté de l’angle est le symétrique de l’autre côté par rapport à la bissectrice.

Conséquences utiles

• Si tu prends un point A sur un côté de l’angle, son symétrique A’ par rapport à la bissectrice se trouve sur l’autre côté de l’angle.
• La distance SA est égale à la distance SA’ (la symétrie axiale conserve les longueurs).
• Si tu traces un segment perpendiculaire à la bissectrice, les deux extrémités du segment sont symétriques et se trouvent chacune sur un côté de l’angle.

Le lien avec la construction au compas

Quand tu construis la bissectrice au compas, les points A et B (obtenus à l’étape 1) sont symétriques par rapport à la bissectrice. Le point M (intersection des deux arcs) se trouve sur cet axe de symétrie. C’est exactement pour cette raison que la construction fonctionne.

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

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La bissectrice coupe l’angle en deux angles égaux.

96° ÷ 2 = 48°

Chaque angle formé mesure 48°.

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Si chaque moitié mesure 32°, l’angle complet mesure :

32° × 2 = 64°

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La bissectrice de l’angle A coupe l’angle BAC en deux angles égaux.

L’angle BAC = 70°

Donc l’angle BAD = 70° ÷ 2 = 35°

(Et l’angle DAC = 35° aussi.)

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D’après la propriété d’équidistance, tout point situé sur la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l’angle.

Donc la distance de P au deuxième côté est aussi 3,2 cm.

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Étape 1 : Je place la pointe du compas sur S et je trace un arc de cercle qui coupe [Sx) en A et [Sy) en B.

Étape 2 : Sans changer l’ouverture du compas, je place la pointe sur A et je trace un arc à l’intérieur de l’angle. Puis je fais la même chose depuis B (même ouverture). Les deux arcs se croisent en un point M.

Étape 3 : Je trace la demi-droite [SM). C’est la bissectrice de l’angle xSy.

Vérification : L’angle xSM et l’angle MSy mesurent chacun 55° (110° ÷ 2).

FAQ

Comment savoir si une droite est la bissectrice d’un angle ?

Tu peux le vérifier de deux façons. Première option : mesure les deux angles de part et d’autre avec un rapporteur — ils doivent être égaux. Deuxième option : prends un point quelconque sur cette droite (autre que le sommet) et mesure sa distance aux deux côtés de l’angle — les distances doivent être identiques.

Est-ce que la bissectrice existe pour un angle plat (180°) ?

Oui. La bissectrice d’un angle plat est la demi-droite perpendiculaire au côté de l’angle, issue du sommet. Elle crée deux angles droits de 90° chacun (180° ÷ 2 = 90°).

Quelle est la différence entre bissectrice et médiane d’un triangle ?

La bissectrice part d’un sommet et coupe l’angle de ce sommet en deux. La médiane part d’un sommet et rejoint le milieu du côté opposé. Ce sont deux segments différents, sauf dans le cas particulier d’un triangle isocèle (la bissectrice, la médiane et la hauteur issues du sommet principal sont confondues).

Combien de bissectrices possède un triangle ?

Un triangle possède trois bissectrices (une par angle). Les trois bissectrices se croisent toutes en un même point, appelé le centre du cercle inscrit. Ce point remarquable est à égale distance des trois côtés du triangle.

Peut-on tracer la bissectrice d’un angle de 0° ou de 360° ?

Un angle de 0° a ses deux côtés confondus : la « bissectrice » serait cette demi-droite elle-même, ce qui n’a pas d’intérêt géométrique. Pour un angle de 360° (angle plein), la bissectrice partagerait l’angle en deux angles de 180° — ce serait la demi-droite opposée au côté commun. En pratique, ces cas limites ne sont pas demandés en 6ème.