La géométrie analytique et affine constitue un socle incontournable du programme du CAPES de mathématiques. Tu dois savoir manipuler les espaces affines, les repères, les transformations géométriques et les coniques avec une parfaite aisance. Ces notions relient l’algèbre linéaire à la géométrie et fournissent les outils pour résoudre une grande variété de problèmes. Cet article développe chaque thème en profondeur, avec les définitions rigoureuses, les démonstrations essentielles et des exercices corrigés conformes au niveau attendu.
Espaces affines : définitions et structure
Un espace affine est un ensemble E de points muni d’un espace vectoriel V (l’espace directeur) et d’une application qui, à tout couple de points (A, B), associe un vecteur AB de V. Cette application vérifie deux propriétés : pour tout point A et tout vecteur v, il existe un unique point B tel que AB = v (l’espace est « libre »), et la relation de Chasles AB + BC = AC est satisfaite pour tous points A, B, C.
Un espace affine de direction V est un triplet (E, V, φ) où :
• E est un ensemble (les « points »)
• V est un espace vectoriel sur un corps K
• φ : E × E → V, (A, B) ↦ AB vérifie :
— Pour tout A ∈ E, l’application B ↦ AB est une bijection de E sur V
— Relation de Chasles : ∀A, B, C ∈ E, AB + BC = AC
La dimension de l’espace affine est la dimension de V.
La distinction entre espace affine et espace vectoriel est fondamentale. Un espace vectoriel possède un élément distingué (le vecteur nul, l’origine). Un espace affine n’a pas d’origine privilégiée : tous les points jouent le même rôle. C’est seulement quand tu choisis un point O comme origine que tu identifies l’espace affine à l’espace vectoriel via M ↦ OM.
Sous-espaces affines
Un sous-espace affine de E est un sous-ensemble F de la forme F = A + W = {A + w | w ∈ W}, où A est un point de F et W est un sous-espace vectoriel de V. Le sous-espace vectoriel W est la direction de F. Les sous-espaces affines de dimension 0 sont les points, de dimension 1 les droites, de dimension 2 les plans.
Deux sous-espaces affines F₁ = A₁ + W₁ et F₂ = A₂ + W₂ sont parallèles si W₁ ⊂ W₂ ou W₂ ⊂ W₁. Ils sont strictement parallèles si W₁ = W₂ et F₁ ≠ F₂ (ils ne se coupent pas).
Repères affines et coordonnées
Un repère affine d’un espace affine de dimension n est un (n+1)-uplet de points affinement indépendants (O, A₁, …, Aₙ). Les vecteurs OA₁, …, OAₙ forment alors une base de l’espace directeur V. Tout point M s’écrit de manière unique comme combinaison affine :
M = λ₀O + λ₁A₁ + … + λₙAₙ avec λ₀ + λ₁ + … + λₙ = 1
Les coefficients (λ₁, …, λₙ) sont les coordonnées de M dans le repère affine (O, A₁, …, Aₙ). Attention : la condition Σλᵢ = 1 est ce qui distingue les combinaisons affines des combinaisons linéaires.
Barycentres
Le barycentre de points pondérés (A₁, α₁), …, (Aₖ, αₖ) avec Σαᵢ ≠ 0 est l’unique point G tel que Σαᵢ GAᵢ = 0. En coordonnées, si Aᵢ a pour coordonnées (xᵢ, yᵢ), alors G a pour coordonnées ((Σαᵢxᵢ)/(Σαᵢ), (Σαᵢyᵢ)/(Σαᵢ)).
Le barycentre est un concept affine : il ne dépend pas du choix du repère. L’isobarycentre (tous les poids égaux) de deux points est le milieu du segment, de trois points c’est le centre de gravité du triangle.
Le barycentre est associatif. Pour calculer le barycentre de (A, 2), (B, 3), (C, 5), tu peux d’abord calculer le barycentre G₁ de (A, 2) et (B, 3) (qui porte le poids 5), puis le barycentre de (G₁, 5) et (C, 5). Cette technique simplifie considérablement les calculs dans les problèmes de géométrie affine.
Applications affines et transformations
Une application affine f d’un espace affine E dans un espace affine F est une application qui conserve les combinaisons affines. De manière équivalente, il existe un point O et une application linéaire φ : V → W (la partie linéaire de f) tels que pour tout point M, f(M) = f(O) + φ(OM).
• Une application affine conserve le parallélisme, les rapports de distances sur une droite et les barycentres.
• La composée de deux applications affines est affine.
• Une application affine bijective est un automorphisme affine ; sa partie linéaire est alors un automorphisme de l’espace vectoriel directeur.
• Une application affine est entièrement déterminée par les images de n + 1 points affinement indépendants (en dimension n).
Translations
La translation de vecteur v est l’application affine tᵥ : M ↦ M + v. Sa partie linéaire est l’identité. Les translations forment un groupe abélien isomorphe à l’espace vectoriel directeur. Une application affine est une translation si et seulement si sa partie linéaire est l’identité.
Homothéties
L’homothétie de centre Ω et de rapport k ≠ 0 est l’application affine h : M ↦ Ω + k × ΩM. Sa partie linéaire est la multiplication par k. Pour k = 1, c’est l’identité ; pour k = −1, c’est la symétrie centrale de centre Ω. Les homothéties de centre Ω forment un groupe pour la composition.
Projections et symétries affines
Une projection affine sur un sous-espace affine F parallèlement à un sous-espace vectoriel W est l’application p qui, à tout point M, associe le point M’ de F tel que MM’ ∈ W. La symétrie affine associée est s = 2p − id (chaque point est envoyé de l’autre côté de F, à même distance). On a p² = p (la projection est idempotente) et s² = id (la symétrie est involutive).
Géométrie analytique dans le plan
En coordonnées, la géométrie affine prend la forme de calculs algébriques. Dans un repère orthonormé du plan, les objets géométriques sont décrits par des équations.
Équations de droites
Toute droite du plan a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0). Le vecteur normal est n = (a, b) et le vecteur directeur est u = (−b, a). La droite passant par A(xₐ, yₐ) de vecteur directeur u = (α, β) a pour équation paramétrique : x = xₐ + αt, y = yₐ + βt (t ∈ ℝ).
La distance d’un point M(x₀, y₀) à la droite ax + by + c = 0 est d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Ce résultat se démontre en projetant orthogonalement M sur la droite.
Les coniques
Les coniques sont les courbes définies par une équation du second degré : ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0. Selon les valeurs des coefficients, on obtient une ellipse, une hyperbole, une parabole ou un cas dégénéré (droites, point).
• Ellipse : x²/a² + y²/b² = 1 (a, b > 0). Excentricité e = √(1 − b²/a²) ∈ [0, 1[ (pour a > b). Cas particulier : cercle si a = b (e = 0).
• Hyperbole : x²/a² − y²/b² = 1. Excentricité e = √(1 + b²/a²) > 1. Asymptotes : y = ±(b/a)x.
• Parabole : y² = 2px (p > 0). Excentricité e = 1. Foyer F(p/2, 0), directrice x = −p/2.
La classification repose sur le discriminant Δ = b² − 4ac de la partie quadratique. Si Δ < 0, c'est une ellipse (ou un cercle). Si Δ > 0, c’est une hyperbole. Si Δ = 0, c’est une parabole (ou un cas dégénéré). Pour réduire une conique à sa forme canonique, on effectue un changement de repère : d’abord une rotation pour éliminer le terme en xy, puis une translation pour centrer.
Géométrie analytique dans l’espace
En dimension 3, les outils s’enrichissent du produit vectoriel et des équations de plans.
Produit vectoriel et produit mixte
Le produit vectoriel u ∧ v de deux vecteurs de ℝ³ est le vecteur orthogonal à u et v, de norme ||u|| × ||v|| × sin(θ), orienté selon la règle de la main droite. En coordonnées, si u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃) :
u ∧ v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
Le produit mixte [u, v, w] = u · (v ∧ w) donne le volume (signé) du parallélépipède construit sur u, v, w. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Ces notions se rattachent directement à la théorie des déterminants.
Équation de plan
Un plan de vecteur normal n = (a, b, c) passant par A(x₀, y₀, z₀) a pour équation : a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, soit ax + by + cz + d = 0. La distance d’un point M(x₁, y₁, z₁) au plan est |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²).
Droites de l’espace
Une droite de l’espace est définie soit par ses équations paramétriques (x = x₀ + αt, y = y₀ + βt, z = z₀ + γt), soit comme intersection de deux plans. Deux droites de l’espace peuvent être sécantes, parallèles (strictement ou confondues) ou non coplanaires (gauches). Deux droites sont gauches si elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Barycentre et alignement
Énoncé : Soient A(1, 2), B(4, 5), C(7, 8). Les points A, B, C sont-ils alignés ? Si oui, exprimer C comme barycentre de A et B.
Correction : AB = (3, 3) et AC = (6, 6) = 2 × AB. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
C = A + 2AB = A + 2(B − A) = −A + 2B. En notation barycentrique : C = barycentre de (A, −1) et (B, 2). On vérifie : (−1) × (1, 2) + 2 × (4, 5) = (−1 + 8, −2 + 10) = (7, 8) et on divise par (−1 + 2) = 1. C’est bien C.
Exercice 2 — Distance d’un point à une droite
Énoncé : Calculer la distance du point M(3, −1) à la droite d’équation 2x − y + 3 = 0.
Correction : d = |2 × 3 − (−1) + 3| / √(4 + 1) = |6 + 1 + 3| / √5 = 10/√5 = 10√5/5 = 2√5.
Exercice 3 — Identifier une conique
Énoncé : Identifier la conique d’équation 4x² + 9y² − 16x − 54y + 61 = 0 et la mettre sous forme réduite.
Correction : Regroupons par variable :
4(x² − 4x) + 9(y² − 6y) + 61 = 0
4(x² − 4x + 4 − 4) + 9(y² − 6y + 9 − 9) + 61 = 0
4(x − 2)² − 16 + 9(y − 3)² − 81 + 61 = 0
4(x − 2)² + 9(y − 3)² = 36
(x − 2)²/9 + (y − 3)²/4 = 1
C’est une ellipse de centre (2, 3), de demi-grand axe a = 3 (horizontal) et de demi-petit axe b = 2 (vertical). Son excentricité est e = √(1 − 4/9) = √(5/9) = √5/3.
Exercice 4 — Application affine
Énoncé : Soit f l’application affine du plan telle que f(0, 0) = (1, 2), f(1, 0) = (3, 1), f(0, 1) = (2, 4). Déterminer f(x, y) et sa partie linéaire.
Correction : Posons f(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f). Avec les données :
f(0, 0) = (e, f) = (1, 2) → e = 1, f = 2
f(1, 0) = (a + 1, c + 2) = (3, 1) → a = 2, c = −1
f(0, 1) = (b + 1, d + 2) = (2, 4) → b = 1, d = 2
Donc f(x, y) = (2x + y + 1, −x + 2y + 2).
La partie linéaire est φ(x, y) = (2x + y, −x + 2y), de matrice M = [[2, 1], [−1, 2]]. Son déterminant est 5 ≠ 0, donc f est bijective.
Exercice 5 — Droites de l’espace : position relative
Énoncé : Soient D₁ : (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, 1, 0) et D₂ : (x, y, z) = (0, 1, 3) + s(2, 0, 1). Déterminer la position relative de D₁ et D₂.
Correction : Les vecteurs directeurs u₁ = (1, 1, 0) et u₂ = (2, 0, 1) ne sont pas colinéaires (pas de λ tel que u₂ = λu₁). Les droites ne sont donc pas parallèles.
Cherchons si elles sont sécantes. Il faut résoudre : 1 + t = 2s, t = 1, 2 = 3 + s.
De la 2e équation : t = 1. De la 3e : s = −1. Vérifions la 1re : 1 + 1 = 2 et 2 × (−1) = −2 ≠ 2.
Le système est incompatible : les droites ne sont pas sécantes. Comme elles ne sont pas parallèles, elles sont gauches.
Exercice 6 — Produit vectoriel et aire
Énoncé : Calculer l’aire du triangle ABC avec A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).
Correction : AB = (−1, 2, 0) et AC = (−1, 0, 3).
AB ∧ AC = (2×3 − 0×0, 0×(−1) − (−1)×3, (−1)×0 − 2×(−1)) = (6, 3, 2).
||AB ∧ AC|| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
L’aire du triangle est ||AB ∧ AC|| / 2 = 7/2.
Erreurs fréquentes au CAPES
Un espace affine n’a pas d’origine. Quand tu écris « le point (3, 2) », tu travailles dans un espace affine muni d’un repère. Le vecteur (3, 2) vit dans l’espace vectoriel directeur. Confondre les deux conduit à des absurdités (« la somme de deux points »).
❌ Erreur 2 — Oublier la condition Σλᵢ = 1 pour les barycentres
Le barycentre n’existe que si la somme des poids est non nulle. Une combinaison de points avec des poids de somme nulle ne définit pas un point, mais un vecteur.
❌ Erreur 3 — Se tromper dans la réduction des coniques
Quand tu complètes le carré, fais attention aux facteurs. Par exemple, 4(x² − 6x) = 4(x² − 6x + 9) − 36, pas −9. L’erreur la plus courante est d’oublier de multiplier la constante par le coefficient devant la parenthèse.
❌ Erreur 4 — Confondre droites parallèles et droites gauches
En dimension 3, deux droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles ! Elles peuvent être gauches (non coplanaires). Vérifier la coplanarité avec le produit mixte est indispensable.
FAQ — Géométrie analytique et affine
Pourquoi distinguer espace affine et espace vectoriel ?
La distinction est essentielle pour la rigueur. Un espace vectoriel a une structure plus riche (addition de vecteurs, multiplication par un scalaire) mais cette structure impose un point privilégié (l’origine). L’espace affine modélise des situations où aucun point n’est privilégié : la géométrie du plan physique, par exemple. Les applications affines (translations, rotations, homothéties) sont les transformations naturelles de l’espace affine, tout comme les applications linéaires sont celles de l’espace vectoriel.
Comment réduire une conique dont l’équation contient un terme en xy ?
Le terme bxy s’élimine par une rotation d’angle θ vérifiant tan(2θ) = b/(a − c). Tu remplaces x et y par x’cos θ − y’sin θ et x’sin θ + y’cos θ, et tu développes. Dans le nouveau repère, le terme en x’y’ disparaît. La connexion avec l’algèbre linéaire est directe : la rotation diagonalise la matrice de la forme quadratique.
Qu’est-ce que le rapport affine et pourquoi est-il invariant ?
Si A, B, C sont trois points alignés avec C ≠ B, le rapport affine de (A, B, C) est le scalaire λ tel que AC = λ × AB. Ce rapport est invariant par toute application affine : si f est affine, le rapport de (f(A), f(B), f(C)) est le même λ. C’est cette propriété qui fait du rapport affine un outil fondamental en géométrie projective.
Comment déterminer si une application affine est une isométrie ?
Une application affine est une isométrie si et seulement si sa partie linéaire est une isométrie vectorielle (elle conserve le produit scalaire). En dimension 2, les isométries directes sont les rotations et les translations ; les isométries indirectes incluent les réflexions et les anti-rotations. Pour vérifier, tu peux montrer que la matrice de la partie linéaire est orthogonale (sa transposée est son inverse).
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
