La géométrie analytique est un passage obligé en L1 de mathématiques. Tu y apprends à traduire les problèmes géométriques en équations et à les résoudre par le calcul. Vecteurs du plan et de l’espace, produit scalaire, équations de droites, de plans, de cercles et de coniques : tous ces outils deviendront tes réflexes pour l’algèbre linéaire, l’analyse et la physique. Cet article reprend chaque notion avec les démonstrations essentielles, des méthodes de résolution détaillées et des exercices corrigés pour tes examens de L1.
Repères et coordonnées
Un repère du plan est constitué d’un point O (l’origine) et de deux vecteurs e₁, e₂ non colinéaires formant une base. Tout point M du plan est alors repéré par un unique couple de coordonnées (x, y) tel que OM = xe₁ + ye₂. Le repère est orthonormé (ou orthonormal) si e₁ ⊥ e₂ et ||e₁|| = ||e₂|| = 1. Sauf mention contraire, on travaille dans un repère orthonormé, ce qui simplifie considérablement les formules.
Soient A(xₐ, yₐ) et B(x_b, y_b) deux points du plan.
• Vecteur : AB = (x_b − xₐ, y_b − yₐ)
• Distance : AB = √((x_b − xₐ)² + (y_b − yₐ)²)
• Milieu : I = ((xₐ + x_b)/2, (yₐ + y_b)/2)
Ces formules découlent directement du théorème de Pythagore.
Changement de repère
Si on passe du repère (O, e₁, e₂) au repère (O’, e’₁, e’₂), les coordonnées (x, y) dans l’ancien repère et (x’, y’) dans le nouveau sont reliées par une relation affine. Si le changement est une translation de vecteur OO’ = (a, b), alors x = x’ + a et y = y’ + b. Si c’est une rotation d’angle θ autour de l’origine, alors x = x’cos θ − y’sin θ et y = x’sin θ + y’cos θ.
Le changement de repère est un outil fondamental pour simplifier les équations. Par exemple, une conique dont l’équation comporte un terme en xy peut être ramenée à une forme sans terme croisé par une rotation bien choisie.
Vecteurs et opérations vectorielles
Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme. En coordonnées, un vecteur u = (u₁, u₂) représente un déplacement de u₁ unités horizontalement et u₂ unités verticalement.
Produit scalaire
Le produit scalaire de u = (u₁, u₂) et v = (v₁, v₂) est :
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = ||u|| × ||v|| × cos(θ)
où θ est l’angle entre les deux vecteurs. Le produit scalaire permet de calculer des angles (cos θ = u · v / (||u|| ||v||)), de vérifier l’orthogonalité (u · v = 0 ⟺ u ⊥ v), et de projeter un vecteur sur un autre (proj_v(u) = (u · v / ||v||²) v).
Déterminant de deux vecteurs
Le déterminant de u = (u₁, u₂) et v = (v₁, v₂) est det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁. Sa valeur absolue donne l’aire du parallélogramme construit sur u et v. Le déterminant est nul si et seulement si u et v sont colinéaires. Son signe indique l’orientation du couple (u, v) par rapport au repère.
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0. Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si det(AB, AC) = 0. C’est souvent le moyen le plus rapide de tester l’alignement en coordonnées, bien plus efficace que de chercher une relation de proportionnalité entre les composantes.
Droites du plan
Une droite du plan peut être décrite de plusieurs façons équivalentes.
Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation cartésienne ax + by + c = 0, avec (a, b) ≠ (0, 0). Le vecteur n = (a, b) est un vecteur normal à la droite, et u = (−b, a) en est un vecteur directeur.
Pour trouver l’équation d’une droite passant par A(xₐ, yₐ) et de vecteur normal n = (a, b), on écrit : a(x − xₐ) + b(y − yₐ) = 0. Pour une droite passant par deux points A et B, on utilise det(AM, AB) = 0, ce qui donne (y_b − yₐ)(x − xₐ) − (x_b − xₐ)(y − yₐ) = 0.
Équation réduite
Si la droite n’est pas verticale, elle s’écrit y = mx + p, où m est la pente (coefficient directeur) et p l’ordonnée à l’origine. La pente m = (y_b − yₐ)/(x_b − xₐ) représente la variation de y par unité de x.
Positions relatives de deux droites
Deux droites D₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0 et D₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0 sont :
• Sécantes si a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 (les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires). Le point d’intersection se trouve en résolvant le système.
• Parallèles si a₁b₂ − a₂b₁ = 0 et a₁c₂ − a₂c₁ ≠ 0.
• Confondues si les trois déterminants sont nuls, c’est-à-dire si (a₁, b₁, c₁) et (a₂, b₂, c₂) sont proportionnels.
La distance du point M(x₀, y₀) à la droite ax + by + c = 0 est :
d(M, D) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
Démonstration : le projeté orthogonal H de M sur D vérifie MH = |MH’| où H’ est la composante de OM’ sur n (vecteur unitaire normal). En calculant le produit scalaire de AM et n/||n||, on obtient la formule. Ce résultat intervient dans de nombreux problèmes d’algèbre linéaire.
Cercles
Le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r est l’ensemble des points M(x, y) tels que ΩM = r, soit :
(x − a)² + (y − b)² = r²
En développant, on obtient la forme générale x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Pour retrouver le centre et le rayon, on complète le carré : le centre est (−D/2, −E/2) et le rayon est r = √(D²/4 + E²/4 − F), à condition que D²/4 + E²/4 − F > 0.
Tangente à un cercle
La tangente au cercle de centre Ω et de rayon r au point P du cercle est la droite perpendiculaire au rayon ΩP en P. Si le cercle a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r² et P = (x₀, y₀), l’équation de la tangente est (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r².
Intersection droite-cercle
Pour trouver les points d’intersection d’une droite y = mx + p et d’un cercle (x − a)² + (y − b)² = r², on substitue y dans l’équation du cercle. On obtient une équation du second degré en x. Le discriminant Δ détermine le nombre de solutions : deux points d’intersection (Δ > 0), un seul point de tangence (Δ = 0), aucune intersection (Δ < 0).
Coniques
Les coniques sont les courbes d’équation du second degré dans le plan. Elles apparaissent comme les sections d’un cône par un plan (d’où leur nom) et jouent un rôle central en astronomie (orbites planétaires), en physique (trajectoires paraboliques) et en optique (miroirs).
L’ellipse
L’ellipse est le lieu des points M tels que MF₁ + MF₂ = 2a (constante), où F₁ et F₂ sont les foyers, avec 2a > F₁F₂. Dans un repère centré sur le centre de l’ellipse avec les axes sur les axes de symétrie, l’équation réduite est :
x²/a² + y²/b² = 1, avec a > b > 0
Les foyers sont F₁(−c, 0) et F₂(c, 0) avec c = √(a² − b²). L’excentricité e = c/a mesure l’aplatissement (e = 0 pour un cercle, e → 1 pour une ellipse très aplatie).
L’hyperbole
L’hyperbole est le lieu des points M tels que |MF₁ − MF₂| = 2a, avec 2a < F₁F₂. L'équation réduite est :
x²/a² − y²/b² = 1
Les foyers sont F₁(−c, 0) et F₂(c, 0) avec c = √(a² + b²). L’excentricité e = c/a > 1. Les asymptotes sont y = ±(b/a)x.
La parabole
La parabole est le lieu des points M équidistants d’un point F (le foyer) et d’une droite D (la directrice). L’équation réduite est y² = 2px, avec le foyer F(p/2, 0) et la directrice x = −p/2. L’excentricité est e = 1.
1. Identifier les termes : ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0.
2. Si b ≠ 0 : effectuer une rotation d’angle θ tel que tan(2θ) = b/(a − c) pour éliminer le terme en xy.
3. Compléter le carré pour les termes en x et en y séparément.
4. Identifier la forme réduite et en déduire la nature (ellipse, hyperbole, parabole ou cas dégénéré).
5. Le signe de Δ = b² − 4ac oriente le diagnostic : Δ < 0 → ellipse, Δ > 0 → hyperbole, Δ = 0 → parabole.
Géométrie dans l’espace
En dimension 3, un repère orthonormé (O, i, j, k) permet de repérer chaque point par un triplet (x, y, z). Les outils supplémentaires sont le produit vectoriel et les équations de plans.
Produit vectoriel
Le produit vectoriel de u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃) est :
u ∧ v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
Le vecteur u ∧ v est orthogonal à u et à v, de norme ||u ∧ v|| = ||u|| × ||v|| × sin θ. Il est nul si et seulement si u et v sont colinéaires. L’aire du triangle construit sur u et v est ||u ∧ v||/2.
Équation de plan
Un plan de vecteur normal n = (a, b, c) passant par A(x₀, y₀, z₀) a pour équation a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, soit ax + by + cz + d = 0. La distance d’un point P(x₁, y₁, z₁) au plan est |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²).
Pour trouver l’équation du plan passant par trois points non alignés A, B, C, on calcule un vecteur normal n = AB ∧ AC, puis on écrit l’équation à partir de n et du point A. Pour approfondir les structures vectorielles sous-jacentes, consulte le cours d’espaces vectoriels.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Équation de droite et intersection
Énoncé : Trouver l’intersection des droites D₁ : 2x − y + 1 = 0 et D₂ : x + 3y − 7 = 0.
Correction : On résout le système : 2x − y = −1 et x + 3y = 7.
De la première : y = 2x + 1. On substitue dans la seconde : x + 3(2x + 1) = 7, soit 7x + 3 = 7, donc x = 4/7.
y = 2 × 4/7 + 1 = 8/7 + 7/7 = 15/7.
Le point d’intersection est (4/7, 15/7). On vérifie : 2(4/7) − 15/7 + 1 = 8/7 − 15/7 + 7/7 = 0 ✓ et 4/7 + 3(15/7) − 7 = 4/7 + 45/7 − 49/7 = 0 ✓.
Exercice 2 — Produit scalaire et angle
Énoncé : Calculer l’angle entre les vecteurs u = (3, 4) et v = (−4, 3).
Correction : u · v = 3 × (−4) + 4 × 3 = −12 + 12 = 0.
Puisque u · v = 0, les vecteurs sont orthogonaux. L’angle est π/2 (90°).
On vérifie : ||u|| = 5 et ||v|| = 5, donc cos θ = 0/25 = 0 → θ = π/2. ✓
Exercice 3 — Cercle passant par trois points
Énoncé : Trouver l’équation du cercle passant par A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 3).
Correction : L’équation générale est x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
A(0, 0) : 0 + 0 + 0 + 0 + F = 0, donc F = 0.
B(4, 0) : 16 + 0 + 4D + 0 + 0 = 0, donc D = −4.
C(0, 3) : 0 + 9 + 0 + 3E + 0 = 0, donc E = −3.
L’équation est x² + y² − 4x − 3y = 0. Le centre est (2, 3/2) et le rayon est r = √(4 + 9/4) = √(25/4) = 5/2.
Exercice 4 — Nature d’une conique
Énoncé : Identifier et réduire la conique x² − 4y² − 2x + 16y − 19 = 0.
Correction : Pas de terme en xy (b = 0), donc pas besoin de rotation.
(x² − 2x) − 4(y² − 4y) = 19
(x² − 2x + 1) − 4(y² − 4y + 4) = 19 + 1 − 16 = 4
(x − 1)² − 4(y − 2)² = 4
(x − 1)²/4 − (y − 2)²/1 = 1
C’est une hyperbole de centre (1, 2), avec a = 2 et b = 1. Les foyers sont sur l’axe horizontal : c = √(4 + 1) = √5, donc F₁(1 − √5, 2) et F₂(1 + √5, 2). L’excentricité est e = √5/2. Les asymptotes sont y − 2 = ±(1/2)(x − 1).
Exercice 5 — Équation de plan dans l’espace
Énoncé : Trouver l’équation du plan passant par A(1, 0, 2), B(3, 1, 1) et C(2, −1, 4).
Correction : AB = (2, 1, −1) et AC = (1, −1, 2).
n = AB ∧ AC = (1×2 − (−1)×(−1), (−1)×1 − 2×2, 2×(−1) − 1×1) = (2 − 1, −1 − 4, −2 − 1) = (1, −5, −3).
L’équation du plan est 1(x − 1) − 5(y − 0) − 3(z − 2) = 0, soit x − 5y − 3z + 5 = 0.
Vérification : A : 1 − 0 − 6 + 5 = 0 ✓. B : 3 − 5 − 3 + 5 = 0 ✓. C : 2 + 5 − 12 + 5 = 0 ✓.
Exercice 6 — Projection orthogonale
Énoncé : Trouver le projeté orthogonal du point P(4, 5) sur la droite D : 3x + 4y − 6 = 0.
Correction : Le vecteur normal à D est n = (3, 4). Le projeté H de P sur D est le pied de la perpendiculaire issue de P.
La droite perpendiculaire à D passant par P a pour vecteur directeur n = (3, 4) : son équation paramétrique est x = 4 + 3t, y = 5 + 4t.
On substitue dans l’équation de D : 3(4 + 3t) + 4(5 + 4t) − 6 = 0, soit 12 + 9t + 20 + 16t − 6 = 0, donc 25t + 26 = 0, t = −26/25.
H = (4 + 3(−26/25), 5 + 4(−26/25)) = (4 − 78/25, 5 − 104/25) = (22/25, 21/25).
Vérification : d(P, D) = |12 + 20 − 6|/5 = 26/5 et PH = √((4 − 22/25)² + (5 − 21/25)²) = √((78/25)² + (104/25)²) = (1/25)√(6084 + 10816) = (1/25)√16900 = 130/25 = 26/5 ✓.
Erreurs fréquentes en L1
Un vecteur n’a pas de position : AB et CD sont le même vecteur s’ils ont mêmes composantes. Un point a une position fixe dans le repère. Ne confonds jamais « le point A(3, 2) » avec « le vecteur (3, 2) ».
❌ Erreur 2 — Utiliser la formule de distance sans repère orthonormé
La formule d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) n’est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, il faut utiliser le produit scalaire associé à la base.
❌ Erreur 3 — Oublier de vérifier les solutions
Quand tu résous un système pour trouver une intersection ou les paramètres d’un cercle, vérifie toujours tes solutions en les substituant dans les équations originales. C’est le meilleur moyen d’attraper les erreurs de calcul.
❌ Erreur 4 — Se tromper dans le sens du produit vectoriel
Le produit vectoriel n’est pas commutatif : u ∧ v = −(v ∧ u). L’ordre compte ! Relis la formule composante par composante avant d’appliquer. Pour les bases de logique, la rigueur de calcul est tout aussi importante.
FAQ — Géométrie analytique L1
Quel est le lien entre géométrie analytique et algèbre linéaire ?
La géométrie analytique est la géométrie faite avec les outils de l’algèbre linéaire. Les vecteurs du plan sont des éléments de ℝ², le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, le déterminant est une forme bilinéaire alternée. Les changements de repère sont des automorphismes de ℝⁿ. En L1, tu apprends ces outils en parallèle dans les cours d’algèbre et de géométrie.
À quoi servent les coniques en dehors des maths ?
Les orbites des planètes sont des ellipses (première loi de Kepler). La trajectoire d’un projectile est une parabole (en négligeant les frottements). Les miroirs paraboliques concentrent les ondes parallèles vers le foyer (antennes satellite, télescopes). Les hyperboles apparaissent en navigation (système LORAN). Les coniques sont omniprésentes en physique et en ingénierie.
Comment reconnaître rapidement le type d’une conique ?
Calcule Δ = b² − 4ac à partir de l’équation ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0. Si Δ < 0 : ellipse (ou cercle si a = c et b = 0). Si Δ = 0 : parabole. Si Δ > 0 : hyperbole. Attention aux cas dégénérés (deux droites, un point, l’ensemble vide).
Le produit scalaire est-il défini dans tout espace vectoriel ?
Non. Le produit scalaire est une structure supplémentaire qu’on ajoute à un espace vectoriel pour en faire un espace préhilbertien (ou euclidien en dimension finie). Un espace vectoriel « nu » n’a pas de notion d’angle ni de distance. C’est le produit scalaire qui les définit. Tu approfondiras cette distinction en L2 avec les espaces euclidiens.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
