Théorie des groupes – Cours de Maths L3

La théorie des groupes est l’un des piliers de l’algèbre abstraite. En L3 mathématiques, tu abordes cette théorie en profondeur : définitions rigoureuses, sous-groupes, morphismes, théorèmes fondamentaux. Elle irrigue l’ensemble des mathématiques, de la géométrie à la cryptographie en passant par la physique des particules. Cet article parcourt l’essentiel du programme, du groupe le plus simple jusqu’aux quotients, en passant par les théorèmes de Lagrange et d’isomorphisme.

Définition et premiers exemples

Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗ vérifiant trois axiomes :

1. Associativité : pour tous a, b, c dans G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
2. Élément neutre : il existe un élément e dans G tel que pour tout a dans G, a ∗ e = e ∗ a = a.
3. Symétrique : pour tout a dans G, il existe a’ dans G tel que a ∗ a’ = a’ ∗ a = e.

Si de plus la loi est commutative (a ∗ b = b ∗ a pour tous a, b dans G), on parle de groupe abélien (ou commutatif).

Exemples fondamentaux

• (ℤ, +) : les entiers relatifs munis de l’addition. Neutre : 0. Symétrique de n : −n. Groupe abélien d’ordre infini.
• (ℚ*, ×) : les rationnels non nuls munis de la multiplication. Neutre : 1. Symétrique de q : 1/q. Groupe abélien.
• (ℤ/nℤ, +) : les classes de congruence modulo n. Neutre : la classe de 0. Groupe abélien d’ordre n.
• (𝔖ₙ, ∘) : le groupe symétrique des permutations de {1, …, n} muni de la composition. Neutre : l’identité. Non abélien pour n ≥ 3. Ordre : n!.
• (GL_n(ℝ), ×) : les matrices inversibles n × n à coefficients réels. Neutre : la matrice identité. Non abélien pour n ≥ 2.

Propriétés élémentaires

À partir des trois axiomes, on démontre :

• L’élément neutre est unique.
• Le symétrique de chaque élément est unique.
• Le symétrique de a ∗ b est b⁻¹ ∗ a⁻¹ (attention à l’inversion de l’ordre dans le cas non commutatif).
• La loi de simplification : si a ∗ b = a ∗ c, alors b = c (simplification à gauche). De même à droite.

Ordre d’un élément

Soit G un groupe et a un élément de G. L’ordre de a, noté ord(a), est le plus petit entier strictement positif n tel que aⁿ = e (ou na = 0 en notation additive). Si un tel entier n’existe pas, on dit que a est d’ordre infini.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la théorie des anneaux et corps.

Exemples

• Dans (ℤ/6ℤ, +), l’ordre de la classe de 2 est 3 (car 2 + 2 + 2 = 6 ≡ 0 mod 6).
• Dans (ℤ, +), tout élément non nul est d’ordre infini.
• Dans 𝔖₃, une transposition est d’ordre 2, un 3-cycle est d’ordre 3.

Propriétés de l’ordre

• aᵏ = e si et seulement si ord(a) divise k.
• Si G est fini, l’ordre de tout élément divise |G| (conséquence du théorème de Lagrange).
• L’ordre de a⁻¹ est égal à l’ordre de a.
• Si a est d’ordre n, alors l’ordre de aᵏ est n/pgcd(n, k).

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L’ordre de la classe de k dans ℤ/12ℤ est 12/pgcd(12, k). Donc : ord(0̄) = 1, ord(1̄) = 12, ord(2̄) = 6, ord(3̄) = 4, ord(4̄) = 3, ord(5̄) = 12, ord(6̄) = 2, ord(7̄) = 12, ord(8̄) = 3, ord(9̄) = 4, ord(10̄) = 6, ord(11̄) = 12. Les éléments d’ordre 12 (qui engendrent le groupe) sont 1̄, 5̄, 7̄, 11̄ — ce sont exactement les classes dont le représentant est premier avec 12.

Sous-groupes

Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si H, muni de la loi induite, est lui-même un groupe. En pratique, on utilise le critère suivant :

Exemples de sous-groupes

• nℤ = {…, −2n, −n, 0, n, 2n, …} est un sous-groupe de (ℤ, +) pour tout entier n.
• Les rotations forment un sous-groupe du groupe des isométries du plan.
• SL_n(ℝ) (matrices de déterminant 1) est un sous-groupe de GL_n(ℝ).
• {e} et G sont toujours des sous-groupes de G (sous-groupes triviaux).

Sous-groupe engendré

Le sous-groupe engendré par un élément a, noté ⟨a⟩, est l’ensemble {aⁿ : n ∈ ℤ}. Si a est d’ordre fini n, alors ⟨a⟩ = {e, a, a², …, aⁿ⁻¹} et |⟨a⟩| = n.

Plus généralement, le sous-groupe engendré par une partie S est l’intersection de tous les sous-groupes contenant S. C’est le plus petit sous-groupe contenant S.

Sous-groupes de ℤ

Tout sous-groupe de (ℤ, +) est de la forme nℤ pour un certain entier n ≥ 0. C’est un résultat fondamental qui revient souvent en exercice. La démonstration repose sur la division euclidienne.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’analyse fonctionnelle en L3.

Morphismes de groupes

Un morphisme (ou homomorphisme) de groupes est une application f : G → G’ qui respecte la loi : pour tous a, b dans G, f(a ∗ b) = f(a) ∗’ f(b).

Propriétés immédiates

• f(e_G) = e_{G’} (l’image du neutre est le neutre).
• f(a⁻¹) = f(a)⁻¹ (l’image de l’inverse est l’inverse de l’image).
• L’image d’un sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe.
• L’image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe.

Noyau et image

Le noyau de f est Ker(f) = {a ∈ G : f(a) = e_{G’}}. C’est un sous-groupe de G.

L’image de f est Im(f) = {f(a) : a ∈ G}. C’est un sous-groupe de G’.

Types de morphismes

• Endomorphisme : morphisme de G dans G.
• Isomorphisme : morphisme bijectif. On écrit G ≅ G’.
• Automorphisme : isomorphisme de G dans G.

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Pour tous n, m ∈ ℤ : f(n + m) = (n + m) mod 4 = (n mod 4) + (m mod 4) = f(n) + f(m). Donc f est un morphisme. Ker(f) = {n ∈ ℤ : n̄ = 0̄} = 4ℤ. Im(f) = ℤ/4ℤ (f est surjective car toute classe a un représentant dans ℤ).

Théorème de Lagrange

C’est l’un des théorèmes les plus importants du cours :

Conséquences

• L’ordre de tout élément divise l’ordre du groupe.
• Un groupe d’ordre premier p est cyclique (engendré par n’importe lequel de ses éléments non neutres). Ses seuls sous-groupes sont {e} et G.
• Pour tout a dans G fini : a^|G| = e (conséquence directe).
• Le petit théorème de Fermat est un cas particulier : si p est premier et a non divisible par p, alors a^(p−1) ≡ 1 (mod p). Cela vient du fait que (ℤ/pℤ)* est un groupe d’ordre p − 1.

Groupes cycliques

Un groupe G est cyclique s’il est engendré par un seul élément : G = ⟨a⟩ pour un certain a ∈ G. Autrement dit, tout élément de G est une puissance de a.

Classification

• Tout groupe cyclique infini est isomorphe à (ℤ, +).
• Tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe à (ℤ/nℤ, +).

Les sous-groupes d’un groupe cyclique d’ordre n sont exactement les groupes ⟨aᵈ⟩ pour chaque diviseur d de n. Le sous-groupe correspondant est d’ordre n/d. En particulier, il y a exactement un sous-groupe pour chaque diviseur de n.

Générateurs

Dans ℤ/nℤ, la classe de k est un générateur si et seulement si pgcd(k, n) = 1. Le nombre de générateurs est donc φ(n) (indicatrice d’Euler).

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Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Pour chaque diviseur d, il y a un unique sous-groupe d’ordre d :

Ordre 1 : {0̄}, engendré par 0̄.

Ordre 2 : {0̄, 9̄}, engendré par 9̄.

Ordre 3 : {0̄, 6̄, 12̄}, engendré par 6̄.

Ordre 6 : {0̄, 3̄, 6̄, 9̄, 12̄, 15̄}, engendré par 3̄.

Ordre 9 : {0̄, 2̄, 4̄, 6̄, 8̄, 10̄, 12̄, 14̄, 16̄}, engendré par 2̄.

Ordre 18 : ℤ/18ℤ tout entier, engendré par 1̄.

Sous-groupes distingués et groupes quotients

Un sous-groupe H de G est distingué (ou normal) si pour tout g ∈ G, gHg⁻¹ = H, c’est-à-dire gH = Hg. On note H ◁ G.

Voir aussi : le calcul des variations pour compléter vos connaissances.

Exemples

• Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.
• Le noyau d’un morphisme est toujours un sous-groupe distingué.
• Le groupe alterné Aₙ (permutations paires) est distingué dans 𝔖ₙ.
• SL_n(ℝ) est distingué dans GL_n(ℝ) (car le déterminant est un morphisme et SL_n est son noyau).

Groupe quotient

Si H ◁ G, l’ensemble des classes latérales G/H = {gH : g ∈ G} forme un groupe pour la loi (gH) ∗ (g’H) = (g ∗ g’)H. Ce groupe s’appelle le groupe quotient de G par H. Son ordre est [G : H] = |G|/|H|.

Théorèmes d’isomorphisme

Premier théorème d’isomorphisme

Si f : G → G’ est un morphisme de groupes, alors G/Ker(f) ≅ Im(f). C’est le résultat central de la théorie. Il dit que, « modulo le noyau », le morphisme devient un isomorphisme sur son image.

Exemple : le morphisme f : ℤ → ℤ/nℤ défini par f(k) = k̄ a pour noyau nℤ. Le premier théorème donne ℤ/nℤ ≅ ℤ/nℤ (tautologie dans ce cas, mais le mécanisme est instructif).

Exemple plus riche : le morphisme det : GL_n(ℝ) → ℝ* a pour noyau SL_n(ℝ). Le premier théorème donne GL_n(ℝ)/SL_n(ℝ) ≅ ℝ*.

Deuxième théorème d’isomorphisme

Soient H un sous-groupe de G et N un sous-groupe distingué de G. Alors HN est un sous-groupe de G, H ∩ N est un sous-groupe distingué de H, et HN/N ≅ H/(H ∩ N).

Troisième théorème d’isomorphisme

Soient H et K deux sous-groupes distingués de G avec K ⊂ H. Alors H/K est un sous-groupe distingué de G/K, et (G/K)/(H/K) ≅ G/H.

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φ((a, b) + (c, d)) = φ(a + c, b + d) = (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) = φ(a, b) + φ(c, d). Donc φ est un morphisme.

Ker(φ) = {(a, b) ∈ ℤ² : a − b = 0} = {(a, a) : a ∈ ℤ} ≅ ℤ (la « diagonale »).

Im(φ) = ℤ (car pour tout n ∈ ℤ, φ(n, 0) = n).

Premier théorème : (ℤ × ℤ) / {(a, a) : a ∈ ℤ} ≅ ℤ.

Groupes produits et théorème chinois

Le produit direct de deux groupes G₁ et G₂ est l’ensemble G₁ × G₂ muni de la loi composante par composante : (a₁, a₂) ∗ (b₁, b₂) = (a₁ ∗₁ b₁, a₂ ∗₂ b₂).

Le théorème chinois des restes (version groupes) s’énonce : si pgcd(m, n) = 1, alors ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ. L’isomorphisme est donné par k̄ ↦ (k mod m, k mod n).

Exemple : ℤ/6ℤ ≅ ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ car pgcd(2, 3) = 1. En revanche, ℤ/4ℤ n’est pas isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ (le premier a un élément d’ordre 4, le second n’en a pas).

Exercice de synthèse

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a) 35 = 5 × 7. Par le théorème de Lagrange, les ordres possibles des éléments divisent 35 : 1, 5, 7, 35. Par les théorèmes de Sylow, il y a un unique sous-groupe d’ordre 5 et un unique sous-groupe d’ordre 7 (car le nombre de p-Sylow divise 35/p et est ≡ 1 mod p). Donc ces sous-groupes sont distingués, et G ≅ ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ ≅ ℤ/35ℤ (théorème chinois car pgcd(5, 7) = 1). Donc G est cyclique.

b) Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7, 35. Il y a un unique sous-groupe de chaque ordre : {e} (ordre 1), un sous-groupe d’ordre 5, un sous-groupe d’ordre 7, et G (ordre 35).

c) Le nombre de générateurs est φ(35) = φ(5) × φ(7) = 4 × 6 = 24.

La théorie des groupes en L3, c’est avant tout un enchaînement logique : des axiomes découlent les propriétés élémentaires, puis les sous-groupes, puis les morphismes, puis le théorème de Lagrange, puis les quotients et les théorèmes d’isomorphisme. Chaque étape s’appuie sur la précédente. Pour bien assimiler ce cours, travaille les démonstrations — pas seulement les énoncés — et entraîne-toi sur des exemples concrets : ℤ/nℤ, 𝔖₃, 𝔖₄, les groupes de matrices. C’est en manipulant ces objets que l’abstraction prend tout son sens.