La géométrie différentielle est l’étude des courbes et des surfaces à l’aide des outils du calcul différentiel. En L3, tu abordes les courbes paramétrées dans le plan et l’espace, la courbure, la torsion, le repère de Frenet, les surfaces régulières, la première et la seconde forme fondamentale, et les notions de courbure de Gauss et de courbure moyenne. Ces concepts sont à la charnière entre l’analyse, l’algèbre linéaire et la géométrie. Cet article développe chaque notion avec les démonstrations essentielles, des exemples détaillés et des exercices corrigés.
Courbes paramétrées dans le plan
Une courbe paramétrée dans ℝ² est une application γ : I → ℝ², où I est un intervalle de ℝ. On écrit γ(t) = (x(t), y(t)). La courbe est régulière si γ'(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I (le vecteur vitesse ne s’annule jamais). Un point où γ'(t₀) = 0 est un point singulier.
• Vecteur vitesse : γ'(t) = (x'(t), y'(t)). Sa direction est celle de la tangente à la courbe.
• Vecteur accélération : γ »(t) = (x »(t), y »(t)).
• Abscisse curviligne : s(t) = ∫₀ᵗ ||γ'(u)|| du. C’est la longueur d’arc parcourue. La paramétrisation par l’abscisse curviligne vérifie ||γ'(s)|| = 1 pour tout s.
La longueur d’un arc de courbe entre t = a et t = b est L = ∫ₐᵇ ||γ'(t)|| dt = ∫ₐᵇ √(x'(t)² + y'(t)²) dt. Ce calcul intervient dans de nombreux problèmes d’analyse.
Courbure d’une courbe plane
La courbure κ(t) mesure la vitesse de rotation de la tangente lorsqu’on parcourt la courbe. Pour une courbe paramétrée γ(t) = (x(t), y(t)) régulière, la courbure est :
κ(t) = (x’y » − x »y’) / (x’² + y’²)^{3/2}
En paramétrisation par l’abscisse curviligne, la formule se simplifie : κ(s) = ||γ »(s)||. Le rayon de courbure est R = 1/|κ| (quand κ ≠ 0). Le centre de courbure est le centre du cercle osculateur, c’est-à-dire le cercle qui approche le mieux la courbe au voisinage du point considéré.
La courbure κ est nulle en un point si et seulement si la courbe est localement une droite (un segment rectiligne). Plus |κ| est grand, plus la courbe tourne vite. Le signe de κ indique le sens de la rotation : positif si la courbe tourne dans le sens direct, négatif dans le sens horaire (dans un repère direct). Le cercle osculateur est le cercle de rayon R = 1/|κ| tangent à la courbe et dont le centre est du côté concave.
Courbes de l’espace et repère de Frenet
Une courbe paramétrée dans ℝ³ est une application γ : I → ℝ³, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). La courbe est régulière si γ'(t) ≠ 0. En paramétrisation par l’abscisse curviligne, on définit le repère de Frenet, qui est un repère mobile orthonormé direct attaché à chaque point de la courbe.
Soit γ une courbe de classe C³ paramétrisée par l’abscisse curviligne s, avec κ(s) ≠ 0.
• T = γ'(s) : vecteur tangent unitaire (dans le sens de parcours).
• N = γ »(s) / ||γ »(s)|| = T'(s) / κ(s) : vecteur normal principal (pointe vers le centre de courbure).
• B = T ∧ N : vecteur binormal (complète le repère en trièdre direct).
Le plan osculateur est le plan engendré par T et N. C’est le plan qui approche le mieux la courbe au voisinage du point.
Formules de Frenet
Les dérivées des vecteurs du repère de Frenet s’expriment dans ce même repère par les formules de Frenet :
T’ = κN
N’ = −κT + τB
B’ = −τN
où κ est la courbure et τ est la torsion. La courbure mesure la déviation de la courbe par rapport à la droite (dans le plan osculateur). La torsion mesure la déviation par rapport au plan osculateur : elle indique à quelle vitesse la courbe sort de ce plan.
Propriétés essentielles : une courbe a une torsion nulle si et seulement si elle est plane (contenue dans un plan). La courbure et la torsion déterminent la courbe à un déplacement près (théorème fondamental de la théorie des courbes).
Courbure et torsion en paramétrisation quelconque
Si la courbe est paramétrisée par un paramètre t quelconque (pas nécessairement l’abscisse curviligne), les formules deviennent :
κ = ||γ’ ∧ γ »|| / ||γ’||³
τ = det(γ’, γ », γ »’) / ||γ’ ∧ γ »||²
où det(γ’, γ », γ »’) = γ’ · (γ » ∧ γ »’) est le produit mixte des trois vecteurs dérivés.
Surfaces régulières
Une surface régulière S dans ℝ³ est une surface qui, au voisinage de chaque point, peut être décrite par un paramétrage σ : U → ℝ³, (u, v) ↦ σ(u, v), où U est un ouvert de ℝ². La régularité exige que les vecteurs σᵤ = ∂σ/∂u et σᵥ = ∂σ/∂v soient non colinéaires en tout point (la surface n’a pas de pincement).
Le plan tangent en un point p = σ(u₀, v₀) est le plan vectoriel engendré par σᵤ(u₀, v₀) et σᵥ(u₀, v₀). Le vecteur normal unitaire est n = (σᵤ ∧ σᵥ) / ||σᵤ ∧ σᵥ||.
Première forme fondamentale
La première forme fondamentale I est le produit scalaire restreint au plan tangent. Elle encode la métrique de la surface : elle permet de calculer des longueurs, des angles et des aires sur la surface.
En coordonnées (u, v), la première forme fondamentale est :
I = E du² + 2F du dv + G dv²
avec les coefficients E = σᵤ · σᵤ, F = σᵤ · σᵥ, G = σᵥ · σᵥ. La longueur d’une courbe γ(t) = σ(u(t), v(t)) sur la surface est L = ∫ √(E u’² + 2F u’v’ + G v’²) dt. L’aire d’une portion de surface est A = ∬ᵤ √(EG − F²) du dv.
Deux surfaces ont la même première forme fondamentale si et seulement si elles sont localement isométriques (il existe une application bijective qui préserve les longueurs). La première forme fondamentale est donc un invariant métrique de la surface. Un cylindre et un plan sont localement isométriques (on peut dérouler un cylindre à plat), bien qu’ils aient des courbures différentes.
Seconde forme fondamentale
La seconde forme fondamentale II mesure la façon dont la surface s’écarte de son plan tangent. Elle est définie par :
II = L du² + 2M du dv + N dv²
avec L = σᵤᵤ · n, M = σᵤᵥ · n, N = σᵥᵥ · n, où n est le vecteur normal unitaire. Géométriquement, II(v, v) mesure la courbure de la section normale de la surface dans la direction v.
Courbures de Gauss et moyenne
L’application de Gauss (ou application normale) envoie chaque point de la surface sur le vecteur normal unitaire, vu comme un point de la sphère unité S². Sa différentielle en un point p est l’endomorphisme de Weingarten dₚn, qui est un endomorphisme auto-adjoint du plan tangent.
Les valeurs propres κ₁ et κ₂ de l’endomorphisme de Weingarten sont les courbures principales. Les directions propres associées sont les directions principales. On définit alors :
• Courbure de Gauss : K = κ₁κ₂ = (LN − M²) / (EG − F²)
• Courbure moyenne : H = (κ₁ + κ₂)/2 = (EN − 2FM + GL) / (2(EG − F²))
La courbure de Gauss est un invariant intrinsèque (Theorema Egregium de Gauss) : elle ne dépend que de la première forme fondamentale. La courbure moyenne dépend du plongement de la surface dans ℝ³.
Classification par le signe de K :
• K > 0 : le point est elliptique (la surface ressemble localement à une sphère ou un ellipsoïde). Les deux courbures principales ont le même signe.
• K < 0 : le point est hyperbolique (la surface ressemble à une selle de cheval). Les courbures principales sont de signes opposés.
• K = 0 : le point est parabolique (une des courbures principales est nulle). La surface est localement cylindrique.
• K = 0 et H = 0 : le point est plan (les deux courbures principales sont nulles).
1. Calculer σᵤ, σᵥ, σᵤᵤ, σᵤᵥ, σᵥᵥ.
2. En déduire E, F, G (première forme) et n = σᵤ ∧ σᵥ / ||σᵤ ∧ σᵥ||.
3. Calculer L, M, N (seconde forme).
4. Appliquer K = (LN − M²)/(EG − F²) et H = (EN − 2FM + GL)/(2(EG − F²)).
5. Interpréter : signe de K, points ombilics (κ₁ = κ₂), surfaces minimales (H = 0).
Theorema Egregium et géodésiques
Le Theorema Egregium (« théorème remarquable ») de Gauss affirme que la courbure de Gauss K ne dépend que de la première forme fondamentale et de ses dérivées. C’est un résultat profond : il signifie que la courbure de Gauss est mesurable par un être vivant sur la surface, sans avoir besoin de voir la surface de l’extérieur. Par exemple, on peut détecter la courbure de la Terre en mesurant des triangles géodésiques (la somme des angles diffère de π).
Les géodésiques sont les courbes de plus court chemin sur la surface. Elles généralisent la notion de droite au cas des surfaces courbes. Sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles. Les géodésiques satisfont une équation différentielle du second ordre qui ne fait intervenir que les coefficients de la première forme fondamentale et leurs dérivées (les symboles de Christoffel). Pour les outils d’analyse variationnelle sous-jacents, consulte le cours de calcul des variations.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Courbure d’une courbe plane
Énoncé : Calculer la courbure de l’ellipse γ(t) = (a cos t, b sin t) en fonction de t.
Correction : γ'(t) = (−a sin t, b cos t) et γ »(t) = (−a cos t, −b sin t).
κ = (x’y » − x »y’) / (x’² + y’²)^{3/2}
x’y » − x »y’ = (−a sin t)(−b sin t) − (−a cos t)(b cos t) = ab sin²t + ab cos²t = ab.
x’² + y’² = a²sin²t + b²cos²t.
κ(t) = ab / (a²sin²t + b²cos²t)^{3/2}.
Pour un cercle (a = b = r) : κ = r²/(r²)^{3/2} = 1/r. La courbure est constante, comme attendu.
Exercice 2 — Repère de Frenet d’une hélice
Énoncé : Soit l’hélice circulaire γ(t) = (cos t, sin t, t). Calculer le repère de Frenet, la courbure et la torsion.
Correction : γ'(t) = (−sin t, cos t, 1), donc ||γ’|| = √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
T = γ’/||γ’|| = (−sin t, cos t, 1)/√2.
γ »(t) = (−cos t, −sin t, 0). γ’ ∧ γ » = (sin t × 0 − 1 × (−sin t), 1 × (−cos t) − (−sin t) × 0, (−sin t)(−sin t) − cos t(−cos t)) = (sin t, −cos t, sin²t + cos²t) = (sin t, −cos t, 1).
||γ’ ∧ γ »|| = √(sin²t + cos²t + 1) = √2.
κ = ||γ’ ∧ γ »|| / ||γ’||³ = √2 / (√2)³ = √2 / 2√2 = 1/2.
N = T’/||T’|| : T’ = γ »/||γ’|| − (γ’ · γ »/||γ’||³)γ’. Plus directement, T'(t)/κ = … Calculons directement.
N = (γ’ ∧ γ ») ∧ γ’ / (||γ’ ∧ γ »|| × ||γ’||) ou via la formule N = (κγ’ × ||γ’||² × γ » − (γ’ · γ »)γ’)… Utilisons la méthode systématique :
B = (γ’ ∧ γ ») / ||γ’ ∧ γ »|| = (sin t, −cos t, 1)/√2.
N = B ∧ T = (1/2)((−cos t)(1) − 1(cos t), 1(−sin t) − (sin t)(1), (sin t)(cos t) − (−cos t)(−sin t))
= (1/2)(−2cos t, −2sin t, 0) = (−cos t, −sin t, 0).
Pour la torsion : γ »’ = (sin t, −cos t, 0).
det(γ’, γ », γ »’) = γ’ · (γ » ∧ γ »’) = (−sin t, cos t, 1) · ((−sin t)(0) − 0(−cos t), 0(sin t) − (−cos t)(0), (−cos t)(−cos t) − (−sin t)(sin t))
= (−sin t, cos t, 1) · (0, 0, cos²t + sin²t) = (−sin t, cos t, 1) · (0, 0, 1) = 1.
τ = det(γ’, γ », γ »’) / ||γ’ ∧ γ »||² = 1/2.
L’hélice a courbure κ = 1/2 et torsion τ = 1/2, toutes deux constantes. C’est une propriété caractéristique de l’hélice circulaire.
Exercice 3 — Première forme fondamentale de la sphère
Énoncé : La sphère de rayon R est paramétrée par σ(θ, φ) = (R sin θ cos φ, R sin θ sin φ, R cos θ) avec θ ∈ ]0, π[ et φ ∈ ]0, 2π[. Calculer E, F, G et l’aire de la sphère.
Correction : σ_θ = (R cos θ cos φ, R cos θ sin φ, −R sin θ)
σ_φ = (−R sin θ sin φ, R sin θ cos φ, 0)
E = σ_θ · σ_θ = R²cos²θ cos²φ + R²cos²θ sin²φ + R²sin²θ = R²(cos²θ + sin²θ) = R².
F = σ_θ · σ_φ = −R²cos θ sin θ cos φ sin φ + R²cos θ sin θ sin φ cos φ + 0 = 0.
G = σ_φ · σ_φ = R²sin²θ sin²φ + R²sin²θ cos²φ = R²sin²θ.
√(EG − F²) = √(R² × R²sin²θ) = R²sin θ (pour θ ∈ ]0, π[, sin θ > 0).
Aire = ∫₀²π ∫₀π R²sin θ dθ dφ = R² × 2π × [−cos θ]₀π = R² × 2π × 2 = 4πR².
Exercice 4 — Courbure de Gauss de la sphère
Énoncé : Calculer la courbure de Gauss et la courbure moyenne de la sphère de rayon R.
Correction : Avec le paramétrage précédent, n = σ_θ ∧ σ_φ / ||σ_θ ∧ σ_φ|| = −(sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) (vers l’intérieur ; on peut prendre le signe + pour la normale extérieure).
σ_θθ = (−R sin θ cos φ, −R sin θ sin φ, −R cos θ)
L = σ_θθ · n = R sin²θ cos²φ + R sin²θ sin²φ + R cos²θ = R (en prenant n vers l’intérieur ; avec n extérieur, L = −R).
σ_θφ = (−R cos θ sin φ, R cos θ cos φ, 0). M = σ_θφ · n = 0.
σ_φφ = (−R sin θ cos φ, −R sin θ sin φ, 0). N = σ_φφ · n = R sin²θ.
K = (LN − M²)/(EG − F²) = (R × R sin²θ − 0)/(R² × R²sin²θ) = R²sin²θ / R⁴sin²θ = 1/R².
H = (EN − 2FM + GL)/(2(EG − F²)) = (R² × R sin²θ + R²sin²θ × R)/(2R⁴sin²θ) = 2R³sin²θ/(2R⁴sin²θ) = 1/R.
La sphère a une courbure de Gauss K = 1/R² et une courbure moyenne H = 1/R, toutes deux constantes. Tous les points sont ombilics (κ₁ = κ₂ = 1/R).
Exercice 5 — Courbe plane : caractérisation
Énoncé : Montrer qu’une courbe de ℝ³ de classe C³ avec κ > 0 et τ = 0 est une courbe plane.
Correction : Par les formules de Frenet, B’ = −τN = 0 (car τ = 0). Donc B est un vecteur constant.
Montrons que la courbe est contenue dans un plan orthogonal à B. Posons f(s) = γ(s) · B. Alors f'(s) = γ'(s) · B = T · B = 0 (car B est orthogonal à T par construction du repère de Frenet). Donc f est constante : γ(s) · B = c pour tout s.
Cela signifie que la courbe est contenue dans le plan d’équation x · B = c, qui est orthogonal au vecteur constant B. La courbe est bien plane.
Exercice 6 — Surface minimale
Énoncé : Le caténoïde est la surface de révolution engendrée par la chaînette y = cosh x autour de l’axe des x. Montrer que c’est une surface minimale (H = 0).
Correction : Le paramétrage est σ(u, v) = (u, cosh u cos v, cosh u sin v).
σᵤ = (1, sinh u cos v, sinh u sin v). σᵥ = (0, −cosh u sin v, cosh u cos v).
E = 1 + sinh²u = cosh²u. F = 0. G = cosh²u.
n = σᵤ ∧ σᵥ / ||σᵤ ∧ σᵥ||. σᵤ ∧ σᵥ = (sinh u cosh u, −cosh u cos v, −cosh u sin v). Son module est cosh u √(sinh²u + 1) = cosh²u.
n = (sinh u, −cos v, −sin v)/cosh u.
σᵤᵤ = (0, cosh u cos v, cosh u sin v). L = σᵤᵤ · n = (cosh u cos v)(−cos v)/cosh u + (cosh u sin v)(−sin v)/cosh u = −cos²v − sin²v = −1.
σᵤᵥ = (0, −sinh u sin v, sinh u cos v). M = σᵤᵥ · n = 0.
σᵥᵥ = (0, −cosh u cos v, −cosh u sin v). N = σᵥᵥ · n = (cosh u cos v)(cos v)/cosh u + (cosh u sin v)(sin v)/cosh u = 1.
H = (EN − 2FM + GL) / (2(EG − F²)) = (cosh²u × 1 + cosh²u × (−1)) / (2cosh⁴u) = 0/cosh⁴u = 0.
Le caténoïde est bien une surface minimale.
Erreurs fréquentes en L3
Avant de calculer courbure ou torsion, vérifie que γ'(t) ≠ 0. Aux points singuliers, les formules ne s’appliquent pas et le repère de Frenet n’est pas défini.
Erreur 2 — Confondre courbure de la courbe et courbure de la surface
La courbure κ d’une courbe est un scalaire (ou un réel signé dans le plan). La courbure de Gauss K et la courbure moyenne H sont des propriétés de la surface, pas de la courbe. Les courbures principales κ₁, κ₂ sont les courbures des sections normales dans les directions principales.
Erreur 3 — Appliquer les formules de Frenet en paramétrisation quelconque
Les formules T’ = κN, N’ = −κT + τB, B’ = −τN ne sont valables que pour la paramétrisation par l’abscisse curviligne. En paramétrisation quelconque, il faut reparamétriser ou utiliser les formules adaptées. C’est un point où la rigueur de l’algèbre est indispensable.
Erreur 4 — Croire que K = 0 implique une surface plane
Un cylindre a K = 0 partout, mais ce n’est pas un plan. K = 0 signifie que la surface est développable (localement isométrique à un plan), pas qu’elle est plane. La distinction est importante.
FAQ — Géométrie différentielle L3
Pourquoi le Theorema Egregium est-il « remarquable » ?
Parce qu’il est contre-intuitif. La courbure de Gauss semble être une propriété extrinsèque (elle dépend de la façon dont la surface est plongée dans l’espace). Le Theorema Egregium montre qu’elle est en fait intrinsèque : elle ne dépend que des mesures faites sur la surface elle-même. C’est ce qui rend impossible de cartographier la Terre à plat sans déformation (car une sphère a K = 1/R² ≠ 0, tandis qu’un plan a K = 0).
Qu’est-ce qu’une surface minimale et pourquoi est-ce important ?
Une surface minimale est une surface de courbure moyenne nulle (H = 0). Elle minimise localement l’aire à bord fixé. Les films de savon adoptent spontanément la forme de surfaces minimales. En physique, elles apparaissent dans les problèmes variationnels. Le caténoïde et l’hélicoïde sont les surfaces minimales de révolution et réglée classiques.
Quel est le lien avec la géométrie riemannienne ?
La géométrie différentielle des surfaces de ℝ³ est le cas particulier (dimension 2) de la géométrie riemannienne, où la première forme fondamentale joue le rôle de la métrique riemannienne. En géométrie riemannienne, on étudie des variétés abstraites (pas nécessairement plongées dans un espace ambiant) munies d’une métrique. La courbure de Gauss se généralise en courbure sectionnelle, et la courbure de Ricci et la courbure scalaire apparaissent.
La torsion d’une courbe peut-elle être négative ?
Oui. Le signe de la torsion dépend du sens dans lequel la courbe « sort » du plan osculateur. Une hélice droite (vis standard) a une torsion positive, une hélice gauche a une torsion négative. Le signe dépend de l’orientation du repère de Frenet et du sens de parcours de la courbe.
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
