Analyse III : Intégration et équations différentielles élémentaires – Cours de Maths L2

L’intégration et les équations différentielles ordinaires (EDO) constituent le coeur du cours d’Analyse III en deuxieme annee de licence de mathematiques. L’intégrale de Riemann, le calcul de primitives, les techniques d’intégration (par parties, changement de variable, fractions partielles) et la résolution des EDO du premier et du second ordre : autant de sujets incontournables qui reviennent dans chaque examen. Dans cet article, tu vas revoir chaque notion en profondeur, avec des démonstrations, des méthodes et des exercices corriges pour maitriser le programme.

L’intégrale de Riemann

Idee intuitive

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a, b] represente l’aire algébrique de la surface comprise entre la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. « Algébrique » signifie que les aires situees sous l’axe des abscisses sont comptees negativement.

Sommes de Riemann

Soit f une fonction definie et bornee sur [a, b]. On subdivise [a, b] en n sous-intervalles de meme longueur h = (b – a) / n, avec les points x_k = a + k x h pour k allant de 0 a n.

La somme de Riemann a gauche est :

S_n = somme(k=0 a n-1) f(x_k) x h

La somme de Riemann a droite est :

S_n = somme(k=1 a n) f(x_k) x h

Si f est continue sur [a, b], les deux sommes convergent vers la meme limite quand n tend vers l’infini. Cette limite commune est l’intégrale de Riemann de f sur [a, b], notee intégrale(a,b) f(x) dx.

Sommes de Darboux et integrabilite

Pour une approche plus rigoureuse, on introduit les sommes de Darboux. Pour une subdivision sigma = (x_0, x_1, …, x_n) de [a, b], on definit :

• La somme inferieure : s(f, sigma) = somme(k=1 a n) m_k x (x_k – x_{k-1}), ou m_k = inf f sur [x_{k-1}, x_k].
• La somme supérieure : S(f, sigma) = somme(k=1 a n) M_k x (x_k – x_{k-1}), ou M_k = sup f sur [x_{k-1}, x_k].

La fonction f est integrable au sens de Riemann si et seulement si sup(s(f, sigma)) = inf(S(f, sigma)), en prenant le sup et l’inf sur toutes les subdivisions possibles. Cette valeur commune est l’intégrale.

Propriétés fondamentales de l’intégrale

• Linearite : intégrale(a,b) (alpha x f + beta x g) dx = alpha x intégrale(a,b) f dx + beta x intégrale(a,b) g dx.
• Relation de Chasles : pour a ≤ c ≤ b, intégrale(a,b) f dx = intégrale(a,c) f dx + intégrale(c,b) f dx.
• Positivite : si f ≥ 0 sur [a, b], alors intégrale(a,b) f dx ≥ 0.
• Croissance : si f ≤ g sur [a, b], alors intégrale(a,b) f dx ≤ intégrale(a,b) g dx.
• Inégalité triangulaire : |intégrale(a,b) f dx| ≤ intégrale(a,b) |f| dx.
• Convention : intégrale(a,a) f dx = 0 et intégrale(b,a) f dx = -intégrale(a,b) f dx.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur [a, b] est le nombre :

mu = (1/(b-a)) x intégrale(a,b) f(x) dx

Si f est continue sur [a, b], le théorème de la valeur intermediaire assure qu’il existe c dans [a, b] tel que f(c) = mu. C’est le théorème de la moyenne.

Le théorème fondamental de l’analyse

Ce théorème est le pont entre intégration et dérivation. Il s’enonce en deux parties.

Première partie

Si f est continue sur [a, b], alors la fonction F definie par F(x) = intégrale(a,x) f(t) dt est derivable sur [a, b] et :

F'(x) = f(x)

Autrement dit, F est une primitive de f. On construit ainsi une primitive de toute fonction continue, meme si on ne sait pas l’exprimer avec des fonctions élémentaires.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la topologie et fonctions multi-variables.

Seconde partie (formule de Newton-Leibniz)

Si G est une primitive quelconque de f sur [a, b], alors :

intégrale(a,b) f(x) dx = G(b) – G(a) = [G(x)] entre a et b

Primitives usuelles

Voici le tableau des primitives indispensables :

Fonction f(x)	Primitive F(x)	Domaine
x^n (n different de -1)	x^(n+1) / (n+1)	Selon n
1/x	ln|x|	x different de 0
e^x	e^x	R
cos(x)	sin(x)	R
sin(x)	-cos(x)	R
1/cos^2(x)	tan(x)	x diff. de pi/2 + k x pi
1/(1+x^2)	arctan(x)	R
1/racine(1-x^2)	arcsin(x)	]-1, 1[
e^(ax)	(1/a) x e^(ax)	R
1/(ax+b)	(1/a) x ln|ax+b|	ax+b diff. de 0
sh(x)	ch(x)	R
ch(x)	sh(x)	R

Intégration par parties

L’intégration par parties (IPP) decoule de la regle de Leibniz pour la dérivée d’un produit. Si u et v sont de classe C^1 sur [a, b] :

intégrale(a,b) u(x) x v'(x) dx = [u(x) x v(x)] entre a et b – intégrale(a,b) u'(x) x v(x) dx

Choix de u et v’

Le choix est decisif. La regle mnemonique LIATE donne l’ordre de priorite pour u :

1. Logarithme (ln, log)
2. Inverse trigonometrique (arctan, arcsin, arccos)
3. Algebrique (polynomes, puissances)
4. Trigonometrique (sin, cos, tan)
5. Exponentielle (e^x, a^x)

On choisit pour u la fonction qui apparait en premier dans cette liste, car sa dérivée simplifie l’expression.

Exemple 1 : intégrale(0,1) x x e^x dx.

On pose u = x (A) et v’ = e^x (E). Donc u’ = 1 et v = e^x.

intégrale(0,1) x x e^x dx = [x x e^x] entre 0 et 1 – intégrale(0,1) e^x dx = e – [e^x] entre 0 et 1 = e – (e – 1) = 1.

Exemple 2 : intégrale ln(x) dx.

On pose u = ln(x) (L) et v’ = 1 (A). Donc u’ = 1/x et v = x.

intégrale ln(x) dx = x x ln(x) – intégrale 1 dx = x x ln(x) – x + C.

Exemple 3 : intégrale x^2 x sin(x) dx.

On pose u = x^2 et v’ = sin(x). Première IPP :

= -x^2 x cos(x) + intégrale 2x x cos(x) dx.

Deuxieme IPP sur intégrale 2x x cos(x) dx avec u = 2x et v’ = cos(x) :

= -x^2 x cos(x) + 2x x sin(x) – intégrale 2 x sin(x) dx

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les suites de fonctions et séries de Fourier.

= -x^2 x cos(x) + 2x x sin(x) + 2 x cos(x) + C.

Voir la correction

a) u = x, v’ = sin(x), u’ = 1, v = -cos(x).

= [-x cos(x)] entre 0 et pi + intégrale(0, pi) cos(x) dx = pi + [sin(x)] entre 0 et pi = pi + 0 = pi.

b) u = ln(x), v’ = x^2, u’ = 1/x, v = x^3/3.

= [x^3 ln(x)/3] entre 1 et e – intégrale(1,e) x^2/3 dx = e^3/3 – [x^3/9] entre 1 et e = e^3/3 – e^3/9 + 1/9 = (2e^3 + 1)/9.

c) u = arctan(x), v’ = 1, u’ = 1/(1+x^2), v = x.

= x arctan(x) – intégrale x/(1+x^2) dx = x arctan(x) – (1/2) ln(1+x^2) + C.

Changement de variable

Le changement de variable est l’analogue de la dérivation en chaine pour les intégrales. Si phi est de classe C^1 sur [alpha, beta] et f est continue, alors :

intégrale(phi(alpha), phi(beta)) f(x) dx = intégrale(alpha, beta) f(phi(t)) x phi'(t) dt

Méthode pratique

1. Identifie le changement de variable adapte : pose x = phi(t) ou u = g(x).
2. Calcule dx en fonction de dt (ou du en fonction de dx).
3. Change les bornes en consequence.
4. Remplace dans l’intégrale et simplifie.

Exemple 1 : intégrale(0,1) 2x x racine(1 + x^2) dx.

On pose u = 1 + x^2, donc du = 2x dx. Bornes : u(0) = 1, u(1) = 2.

= intégrale(1,2) racine(u) du = [(2/3) x u^(3/2)] entre 1 et 2 = (2/3)(2 x racine(2) – 1).

Exemple 2 : intégrale(0, pi/2) cos^3(x) x sin(x) dx.

On pose u = cos(x), donc du = -sin(x) dx. Bornes : u(0) = 1, u(pi/2) = 0.

= -intégrale(1,0) u^3 du = intégrale(0,1) u^3 du = [u^4/4] entre 0 et 1 = 1/4.

Exemple 3 : intégrale dx / racine(1 – x^2) avec le changement x = sin(t).

dx = cos(t) dt, racine(1 – sin^2(t)) = cos(t).

L’intégrale devient intégrale cos(t)/cos(t) dt = intégrale dt = t + C = arcsin(x) + C.

Decomposition en fractions partielles

Toute fraction rationnelle P(x)/Q(x) avec deg(P) < deg(Q) peut etre decomposee en somme de fractions simples dont on connait les primitives.

Racines reelles simples

Si Q(x) = (x – a_1)(x – a_2)…(x – a_n) avec des racines distinctes :

P(x)/Q(x) = A_1/(x – a_1) + A_2/(x – a_2) + … + A_n/(x – a_n)

Pour trouver A_k, on multiplie par (x – a_k) et on pose x = a_k.

Exemple : (3x + 5) / ((x – 1)(x + 2)).

Ce thème est développé dans notre article sur l’analyse numérique en L2.

A = (3 + 5)/(1 + 2) = 8/3. B = (-6 + 5)/(-2 – 1) = 1/3.

Intégrale : (8/3) ln|x – 1| + (1/3) ln|x + 2| + C.

Racines multiples

Si Q(x) contient (x – a)^k, on decompose avec A_1/(x – a) + A_2/(x – a)^2 + … + A_k/(x – a)^k.

Exemple : 1 / (x(x-1)^2) = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2.

x = 0 : A = 1/(0-1)^2 = 1. x = 1 : C = 1/1 = 1.

Coefficient de x^0 en developpant : A x (x-1)^2 + B x x x (x-1) + C x x. En identifiant le terme constant : A x 1 = 1. En identifiant le coefficient de x^2 : A + B = 0, donc B = -1.

Intégrale : ln|x| – ln|x-1| – 1/(x-1) + C = ln|x/(x-1)| – 1/(x-1) + C.

Facteur irreductible du second degré

Si Q(x) contient x^2 + px + q (discriminant strictement negatif), la decomposition inclut (Ax + B)/(x^2 + px + q). L’intégration fait intervenir ln et arctan apres mise sous forme canonique.

Voir la correction

x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2).

(x + 3) / ((x – 3)(x + 2)) = A/(x – 3) + B/(x + 2).

x = 3 : A = (3 + 3)/(3 + 2) = 6/5.

x = -2 : B = (-2 + 3)/(-2 – 3) = 1/(-5) = -1/5.

Intégrale : (6/5) ln|x – 3| – (1/5) ln|x + 2| + C = (1/5) ln|(x-3)^6 / (x+2)| + C.

Équations différentielles du premier ordre

EDO lineaire y’ + a(x)y = b(x)

C’est le type le plus général d’EDO lineaire du premier ordre. La méthode de résolution comporte deux etapes.

Etape 1 : équation homogene y’ + a(x)y = 0.

C’est une équation a variables separables. La solution est y_h = C x exp(-intégrale a(x) dx).

Etape 2 : variation de la constante.

On cherche y_p = C(x) x exp(-intégrale a(x) dx). En injectant dans l’équation complete, on trouve C'(x) = b(x) x exp(intégrale a(x) dx), d’ou C(x) par intégration.

Solution générale : y = y_h + y_p.

Cas des coefficients constants

Si a est constant, les formules se simplifient. Pour y’ + ay = f(x) :

• Solution homogene : y_h = C x e^(-ax).
• Solution générale : y = e^(-ax) x (C + intégrale f(x) x e^(ax) dx).

Exemple : y’ + 2y = e^x.

y_h = C x e^(-2x). Variation de la constante : C'(x) = e^x x e^(2x) = e^(3x), donc C(x) = e^(3x)/3.

y_p = (e^(3x)/3) x e^(-2x) = e^x / 3.

Solution générale : y = C x e^(-2x) + e^x / 3.

EDO a variables separables

Forme : y’ = g(x) x h(y). On separe : dy/h(y) = g(x) dx, puis on integre.

Exemple : y’ = x x y^2 (pour y different de 0).

dy/y^2 = x dx. Donc -1/y = x^2/2 + C, soit y = -2/(x^2 + K) ou K = 2C.

Voir la correction

y’ + (-3)y = e^(5x) avec a = -3.

Homogene : y_h = C x e^(3x).

Variation : C'(x) = e^(5x) x e^(-3x) = e^(2x), donc C(x) = e^(2x)/2.

y_p = (e^(2x)/2) x e^(3x) = e^(5x)/2.

Solution générale : y = C x e^(3x) + e^(5x)/2.

y(0) = 2 : C + 1/2 = 2, donc C = 3/2.

y = (3/2) e^(3x) + (1/2) e^(5x).

Équations différentielles du second ordre a coefficients constants

Équation homogene y » + ay’ + by = 0

On cherche y = e^(rx). L’équation caracteristique est :

r^2 + ar + b = 0

Selon le discriminant Delta = a^2 – 4b :

Delta	Racines	Solution générale
Delta > 0	r_1, r_2 reelles distinctes	y = C_1 e^(r_1 x) + C_2 e^(r_2 x)
Delta = 0	r_0 double	y = (C_1 + C_2 x) e^(r_0 x)
Delta < 0	alpha +/- i beta	y = e^(alpha x)(C_1 cos(beta x) + C_2 sin(beta x))

Équation complete : méthode des coefficients indetermines

Pour y » + ay’ + by = f(x), la solution générale est y = y_h + y_p.

Pour trouver y_p quand f(x) = P(x) x e^(alpha x) :

1. Si alpha n’est pas racine de l’équation caracteristique (s = 0) : cherche y_p = Q(x) x e^(alpha x) avec deg(Q) = deg(P).
2. Si alpha est racine simple (s = 1) : cherche y_p = x x Q(x) x e^(alpha x).
3. Si alpha est racine double (s = 2) : cherche y_p = x^2 x Q(x) x e^(alpha x).

Exemple : y » – 5y’ + 6y = e^(2x).

Équation caracteristique : (r-2)(r-3) = 0, racines 2 et 3.

y_h = C_1 e^(2x) + C_2 e^(3x).

f(x) = e^(2x) et 2 est racine simple : on cherche y_p = Ax e^(2x).

y_p’ = A e^(2x)(1 + 2x), y_p » = A e^(2x)(4 + 4x).

Injection : A e^(2x)(4+4x – 5 – 10x + 6x) = e^(2x), soit -A = 1, A = -1.

y = C_1 e^(2x) + C_2 e^(3x) – x e^(2x).

Voir la correction

Équation caracteristique : r^2 + 4 = 0, r = +/- 2i (alpha = 0, beta = 2).

y_h = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x).

cos(2x) est solution de l’homogene (s = 1). On cherche y_p = x(A cos(2x) + B sin(2x)).

Apres dérivation et injection (calcul détaillé) : -4A sin(2x) + 4B cos(2x) = cos(2x).

Identification : A = 0, B = 1/4.

y_p = (x/4) sin(2x).

Solution générale : y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x) + (x/4) sin(2x).

Conditions initiales :

y(0) = C_1 = 0.

y'(x) = -2C_1 sin(2x) + 2C_2 cos(2x) + (1/4) sin(2x) + (x/2) cos(2x).

y'(0) = 2C_2 = 1, donc C_2 = 1/2.

Solution : y = (1/2) sin(2x) + (x/4) sin(2x) = (1/2 + x/4) sin(2x).

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Le théorème de Cauchy-Lipschitz (ou Picard-Lindelof) garantit l’existence et l’unicite locale de la solution d’un problème de Cauchy.

Enonce

Soit f(t, y) une fonction continue sur un ouvert U de R^2 et localement lipschitzienne par rapport a y. Alors, pour tout (t_0, y_0) dans U, le problème de Cauchy :

y’ = f(t, y), y(t_0) = y_0

admet une unique solution maximale definie sur un intervalle ouvert contenant t_0.

Consequences pratiques

• Deux courbes intégrales ne se croisent jamais (unicite).
• La solution existe au moins localement (existence).
• Pour les EDO lineaires, la solution est globale (definie sur tout l’intervalle ou les coefficients sont continus).

Intégrales generalisees

Une intégrale generalisee (ou impropre) est une intégrale ou l’intervalle est non borne ou la fonction n’est pas bornee pres d’une borne.

Intervalle non borne

intégrale(a, +infini) f(x) dx = lim(b vers +infini) intégrale(a,b) f(x) dx

Si la limite existe et est finie, l’intégrale converge. Sinon, elle diverge.

Critère de Riemann : intégrale(1, +infini) 1/x^alpha dx converge ssi alpha > 1.

Fonction non bornee

Si f n’est pas bornee en a (par exemple f(x) tend vers l’infini quand x tend vers a^+) :

intégrale(a, b) f(x) dx = lim(epsilon vers 0^+) intégrale(a + epsilon, b) f(x) dx

Critère de Riemann en 0 : intégrale(0, 1) 1/x^alpha dx converge ssi alpha < 1.

Voir la correction

a) intégrale(1, b) e^(-x) dx = [-e^(-x)] entre 1 et b = -e^(-b) + e^(-1). Quand b tend vers +infini, e^(-b) tend vers 0. Donc l’intégrale converge et vaut e^(-1) = 1/e.

b) 1/racine(x) = x^(-1/2) et alpha = 1/2 < 1, donc l’intégrale converge par le critère de Riemann. Calcul : intégrale(epsilon, 1) x^(-1/2) dx = [2 racine(x)] entre epsilon et 1 = 2 - 2 racine(epsilon). Quand epsilon tend vers 0, on obtient 2.