Les nombres complexes sont un outil indispensable en géométrie, en analyse et en algèbre. Au CAPES, tu dois maîtriser l’écriture algébrique et trigonométrique, la formule d’Euler, les racines de l’unité, et surtout l’utilisation des complexes pour résoudre des problèmes géométriques : transformations du plan, lieux géométriques, angles et distances. Cet article reprend ces notions en détail, avec des démonstrations complètes, des méthodes systématiques et des exercices corrigés.
Le corps des nombres complexes
L’ensemble ℂ des nombres complexes est construit en ajoutant à ℝ un élément i tel que i² = −1. Tout nombre complexe z s’écrit z = a + ib avec a, b ∈ ℝ. Le réel a est la partie réelle de z (noté Re(z)) et b est la partie imaginaire (noté Im(z)). Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Opérations
L’addition et la multiplication sont définies naturellement :
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. Le module est |z| = √(a² + b²). Ces deux outils sont fondamentaux pour tous les calculs.
• z × z̄ = |z|² (toujours réel positif)
• |z₁z₂| = |z₁| × |z₂| (le module est multiplicatif)
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (inégalité triangulaire)
• Re(z) = (z + z̄)/2 et Im(z) = (z − z̄)/(2i)
• Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : (z₁ + z₂)̄ = z̄₁ + z̄₂
• Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : (z₁z₂)̄ = z̄₁ × z̄₂
Inverse d’un complexe
Pour z ≠ 0, l’inverse est 1/z = z̄/|z|². En pratique, pour calculer (a + ib)/(c + id), on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : (a + ib)(c − id) / (c² + d²).
Forme trigonométrique et exponentielle
Tout nombre complexe non nul z s’écrit z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ}, où r = |z| est le module et θ = arg(z) est l’argument (défini modulo 2π). La forme exponentielle e^{iθ} = cos θ + i sin θ est la formule d’Euler.
• Formule d’Euler : e^{iθ} = cos θ + i sin θ
• Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
• cos θ = (e^{iθ} + e^{−iθ})/2 et sin θ = (e^{iθ} − e^{−iθ})/(2i)
• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) [2π]
• arg(z̄) = −arg(z) [2π] et arg(1/z) = −arg(z) [2π]
La multiplication par e^{iθ} correspond géométriquement à une rotation d’angle θ autour de l’origine. La multiplication par r e^{iθ} est une similitude directe (rotation d’angle θ et homothétie de rapport r). Ce lien entre algèbre et géométrie est la clé de l’utilisation des complexes en géométrie plane.
Linéarisation et formule de Moivre
La formule de Moivre permet de calculer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cos θ et sin θ. Par exemple, pour n = 3 :
(cos θ + i sin θ)³ = cos 3θ + i sin 3θ
En développant le membre de gauche par la formule du binôme :
cos³θ + 3i cos²θ sin θ − 3 cos θ sin²θ − i sin³θ = cos 3θ + i sin 3θ
En identifiant parties réelles et imaginaires :
cos 3θ = cos³θ − 3 cos θ sin²θ = 4cos³θ − 3cos θ
sin 3θ = 3cos²θ sin θ − sin³θ = 3sin θ − 4sin³θ
Inversement, la linéarisation transforme cosⁿθ ou sinⁿθ en combinaison de cos(kθ) et sin(kθ) grâce aux formules d’Euler. Par exemple :
cos²θ = (e^{iθ} + e^{−iθ})²/4 = (e^{2iθ} + 2 + e^{−2iθ})/4 = (1 + cos 2θ)/2
Racines de l’unité et racines n-ièmes
Les racines n-ièmes de l’unité sont les n solutions de zⁿ = 1. Elles forment un groupe cyclique engendré par ω = e^{2iπ/n} :
{1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹} avec ω = e^{2iπ/n}
Géométriquement, ce sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité. La somme de toutes les racines n-ièmes de l’unité est nulle : 1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = 0 (pour n ≥ 2). Ce résultat se démontre en sommant la série géométrique.
Pour résoudre zⁿ = w avec w = ρ e^{iφ} :
1. Écrire z = r e^{iθ} et identifier : rⁿ = ρ et nθ = φ + 2kπ (k ∈ ℤ).
2. Donc r = ρ^{1/n} (unique réel positif) et θ = (φ + 2kπ)/n pour k = 0, 1, …, n−1.
3. Les n racines sont zₖ = ρ^{1/n} e^{i(φ + 2kπ)/n} pour k = 0, …, n−1.
Elles sont les sommets d’un polygone régulier de rayon ρ^{1/n}.
Nombres complexes et géométrie du plan
Le plan est identifié à ℂ : chaque point M de coordonnées (x, y) est associé à l’affixe z = x + iy. Cette identification transforme les problèmes géométriques en calculs algébriques sur les complexes.
Distance, milieu, alignement
La distance entre les points d’affixes z₁ et z₂ est |z₂ − z₁|. Le milieu du segment a pour affixe (z₁ + z₂)/2. Trois points d’affixes z₁, z₂, z₃ sont alignés si et seulement si (z₃ − z₁)/(z₂ − z₁) est réel (les vecteurs sont colinéaires).
Angles et orthogonalité
L’angle orienté des vecteurs d’affixes z₁ et z₂ est arg(z₂/z₁) [2π]. Deux vecteurs d’affixes z₁ et z₂ sont orthogonaux si et seulement si z₂/z₁ est imaginaire pur, c’est-à-dire Re(z₁z̄₂) = 0.
Transformations du plan
Les transformations géométriques s’expriment élégamment avec les complexes :
• Translation de vecteur d’affixe b : z’ = z + b
• Rotation de centre d’affixe a et d’angle θ : z’ − a = e^{iθ}(z − a), soit z’ = e^{iθ}z + (a − ae^{iθ})
• Homothétie de centre a et de rapport k : z’ = k(z − a) + a
• Similitude directe : z’ = αz + β avec α ∈ ℂ* (rapport |α|, angle arg(α))
• Symétrie par rapport à l’axe réel : z’ = z̄
Toute similitude directe du plan s’écrit z’ = αz + β avec α ∈ ℂ*, β ∈ ℂ.
• Si |α| = 1 : c’est une isométrie directe (rotation si α ≠ 1, translation si α = 1 et β ≠ 0).
• Si |α| ≠ 1 : c’est une similitude proprement dite, qui admet un unique point fixe ω = β/(1 − α).
Cercles et droites en écriture complexe
Le cercle de centre a et de rayon r est l’ensemble des z tels que |z − a| = r. En développant, on obtient zz̄ − āz − az̄ + |a|² − r² = 0. Plus généralement, toute équation de la forme αzz̄ + βz + β̄z̄ + γ = 0 (avec α, γ ∈ ℝ et β ∈ ℂ) représente un cercle (si α ≠ 0 et |β|² − αγ > 0) ou une droite (si α = 0).
Un point z appartient au cercle de diamètre [z₁, z₂] si et seulement si (z − z₁)/(z − z₂) est imaginaire pur. Ce résultat provient du fait que l’angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Ce genre de caractérisation est très utile dans les problèmes de géométrie du CAPES.
Polynômes et théorème de d’Alembert-Gauss
Le théorème fondamental de l’algèbre (d’Alembert-Gauss) affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ. En conséquence, tout polynôme de degré n se factorise complètement :
P(z) = aₙ(z − z₁)^{m₁}(z − z₂)^{m₂} … (z − zₖ)^{mₖ} avec m₁ + m₂ + … + mₖ = n
Pour les polynômes à coefficients réels, les racines complexes non réelles viennent par paires conjuguées : si z₀ est racine, z̄₀ l’est aussi, avec la même multiplicité. Cela implique que tout polynôme réel se factorise en produit de facteurs du premier et du second degré à coefficients réels.
Pour factoriser un polynôme réel de degré 3 ou 4, cherche d’abord les racines rationnelles (candidats : diviseurs du terme constant divisés par diviseurs du coefficient dominant). Une fois une racine trouvée, effectue la division euclidienne pour réduire le degré. Pour les racines complexes restantes, utilise la formule discriminante ou identifie les paires conjuguées. L’étude des fonctions associées peut guider la recherche.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Forme trigonométrique et argument
Énoncé : Déterminer le module et l’argument de z = (1 + i√3)⁵.
Correction : On écrit 1 + i√3 en forme exponentielle. |1 + i√3| = √(1 + 3) = 2. arg(1 + i√3) = arctan(√3/1) = π/3. Donc 1 + i√3 = 2e^{iπ/3}.
Par la formule de Moivre : z = 2⁵ × e^{i5π/3} = 32 e^{i5π/3}.
|z| = 32 et arg(z) = 5π/3 = −π/3 [2π].
En forme algébrique : z = 32(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 32(1/2 − i√3/2) = 16 − 16i√3.
Exercice 2 — Racines de l’unité
Énoncé : Déterminer les racines cubiques de −8 et les représenter dans le plan complexe.
Correction : On résout z³ = −8. On écrit −8 = 8e^{iπ}. Alors z = 8^{1/3} e^{i(π + 2kπ)/3} = 2e^{i(π + 2kπ)/3} pour k = 0, 1, 2.
k = 0 : z₀ = 2e^{iπ/3} = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 1 + i√3
k = 1 : z₁ = 2e^{iπ} = −2
k = 2 : z₂ = 2e^{i5π/3} = 2(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 1 − i√3
Les trois racines forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 2.
Exercice 3 — Similitude directe
Énoncé : Déterminer la similitude directe f qui envoie A(1) sur A'(3 + i) et B(i) sur B'(1 + 3i).
Correction : On cherche f(z) = αz + β. Les conditions donnent :
α + β = 3 + i (image de A)
αi + β = 1 + 3i (image de B)
En soustrayant : α − αi = 2 − 2i, donc α(1 − i) = 2(1 − i), donc α = 2.
Alors β = 3 + i − 2 = 1 + i.
f(z) = 2z + 1 + i. C’est une similitude de rapport |α| = 2 et d’angle arg(α) = 0 (pas de rotation, juste une homothétie de rapport 2 suivie d’une translation).
Point fixe : ω = (1 + i)/(1 − 2) = −1 − i.
Exercice 4 — Lieu géométrique
Énoncé : Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − 2| = |z + 2i|.
Correction : |z − 2| = |z + 2i| signifie que M est équidistant du point A(2, 0) et du point B(0, −2).
C’est donc la médiatrice du segment [AB]. Le milieu de [AB] est I(1, −1) et le vecteur AB = (−2, −2), donc un vecteur directeur de la médiatrice est (1, −1) (perpendiculaire à AB : vérification (1, −1) · (−2, −2) = −2 + 2 = 0 ✓).
Vérifions par le calcul : |z − 2|² = |z + 2i|² ⟺ (x − 2)² + y² = x² + (y + 2)² ⟺ x² − 4x + 4 + y² = x² + y² + 4y + 4 ⟺ −4x = 4y ⟺ y = −x.
Le lieu est la droite d’équation y = −x.
Exercice 5 — Triangle équilatéral
Énoncé : Montrer que trois points d’affixes z₁, z₂, z₃ forment un triangle équilatéral si et seulement si z₁² + z₂² + z₃² = z₁z₂ + z₂z₃ + z₃z₁.
Correction : Le triangle est équilatéral si et seulement si z₂ − z₁ s’obtient à partir de z₃ − z₁ par une rotation de ±π/3, soit (z₂ − z₁)/(z₃ − z₁) = e^{±iπ/3}. Notons j = e^{iπ/3} (qui vérifie j² − j + 1 = 0).
Si (z₂ − z₁) = j(z₃ − z₁), alors z₂ − z₁ = jz₃ − jz₁. En développant et en utilisant 1 + j + j² = 0 (car j est une racine cubique de −1… non, j = e^{iπ/3} n’est pas une racine de l’unité d’ordre 3). Reprenons plus proprement.
Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si z₁ + ωz₂ + ω²z₃ = 0 pour ω = e^{2iπ/3} (une racine cubique de l’unité). En développant la condition z₁² + z₂² + z₃² = z₁z₂ + z₂z₃ + z₃z₁, on voit qu’elle est équivalente à (z₁ − z₂)² + (z₂ − z₃)² + (z₃ − z₁)² = 0.
Or, les côtés sont égaux si |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁|, et la somme des carrés des différences est nulle exactement quand chaque différence est obtenue de l’autre par rotation de 2π/3. La condition est donc nécessaire et suffisante.
Exercice 6 — Linéarisation
Énoncé : Linéariser cos⁴θ.
Correction : On utilise cos θ = (e^{iθ} + e^{−iθ})/2.
cos⁴θ = ((e^{iθ} + e^{−iθ})/2)⁴ = (1/16)(e^{iθ} + e^{−iθ})⁴
Par le binôme : (e^{iθ} + e^{−iθ})⁴ = e^{4iθ} + 4e^{2iθ} + 6 + 4e^{−2iθ} + e^{−4iθ}
= 2cos 4θ + 8cos 2θ + 6
Donc cos⁴θ = (2cos 4θ + 8cos 2θ + 6)/16 = (cos 4θ)/8 + (cos 2θ)/2 + 3/8.
Erreurs fréquentes
Le carré du module est |z|² = zz̄, pas z². La relation z² = |z|² n’est vraie que si z est réel. Cette confusion est la source de nombreuses erreurs dans les calculs de distances.
❌ Erreur 2 — Oublier que arg est défini modulo 2π
Écrire arg(z) = π/3 sans préciser [2π] est incomplet. Deux arguments qui diffèrent de 2π représentent le même angle. De plus, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) [2π], pas en tant qu’égalité de réels.
❌ Erreur 3 — Se tromper sur le sens de rotation
La rotation d’angle θ > 0 est dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre). La formule z’ − a = e^{iθ}(z − a) donne bien une rotation dans le sens direct. Pour une rotation dans le sens horaire, l’angle est −θ.
❌ Erreur 4 — Confondre racines n-ièmes de l’unité et racines n-ièmes d’un complexe
Les racines n-ièmes de l’unité sont sur le cercle unité. Les racines n-ièmes de w = ρe^{iφ} sont sur le cercle de rayon ρ^{1/n}. L’erreur classique est d’oublier le facteur ρ^{1/n} et de confondre les deux notions, surtout en lien avec les séries.
FAQ — Nombres complexes et géométrie
Pourquoi les complexes sont-ils si efficaces en géométrie plane ?
Parce que la multiplication par un complexe de module 1 est une rotation, et la multiplication par un complexe quelconque est une similitude. Les transformations géométriques deviennent de simples opérations algébriques. De plus, l’argument d’un quotient donne directement l’angle entre deux vecteurs, ce qui évite les calculs trigonométriques laborieux.
Comment passer d’un problème géométrique à un problème sur les complexes ?
Associe à chaque point M ses coordonnées (x, y) puis son affixe z = x + iy. Les distances deviennent des modules de différences, les angles deviennent des arguments de quotients, et les transformations géométriques deviennent des fonctions de z. Traduis l’énoncé point par point, résous en complexes, puis retraduis le résultat géométriquement.
Qu’est-ce que le birapport et comment l’utiliser ?
Le birapport de quatre points d’affixes z₁, z₂, z₃, z₄ est [z₁, z₂, z₃, z₄] = (z₃ − z₁)(z₄ − z₂) / ((z₃ − z₂)(z₄ − z₁)). Il est réel si et seulement si les quatre points sont cocycliques (ou alignés). C’est un invariant des transformations de Möbius z ↦ (az + b)/(cz + d), ce qui le relie à l’analyse complexe.
Les quaternions généralisent-ils les complexes à la dimension 3 ?
Pas exactement. Les quaternions (découverts par Hamilton) sont de dimension 4 sur ℝ et servent à représenter les rotations de l’espace ℝ³. Ils perdent la commutativité de la multiplication (ab ≠ ba en général). En revanche, les complexes ne se généralisent pas en dimension 3 : il n’existe aucune algèbre normée de dimension 3 (théorème de Frobenius). Après les complexes (dim 2) viennent les quaternions (dim 4) puis les octonions (dim 8).
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
