Fonctions de plusieurs variables – Cours de Maths L1

Les fonctions de plusieurs variables constituent un tournant dans ton parcours en mathematiques. En L1, tu passes du monde rassurant des fonctions d’une seule variable a un univers bien plus riche, ou une fonction peut dependre de deux, trois, voire n variables simultanement. Ce chapitre te permettra de maitriser les définitions fondamentales, de comprendre la géométrie des surfaces, de calculer des dérivées partielles et des différentielles, et surtout d’eviter les pieges classiques. Chaque notion est illustree par des exemples concrets et des exercices corriges pour que tu puisses progresser efficacement.

Définition d’une fonction de plusieurs variables

Une fonction de plusieurs variables est une application qui associe a un n-uplet de nombres reels un nombre reel. En pratique, tu travailleras le plus souvent avec des fonctions de deux ou trois variables.

Formellement, une fonction de deux variables est une application f : D ⊂ ℝ² → ℝ qui a tout couple (x, y) appartenant au domaine D associe un reel f(x, y). Par exemple, f(x, y) = x² + y² est une fonction de deux variables qui a tout point du plan associe la somme des carrés de ses coordonnees.

Pour une fonction de trois variables, on ecrit f : D ⊂ ℝ³ → ℝ, avec f(x, y, z) un reel dependant de trois variables independantes. Un exemple classique est f(x, y, z) = x² + y² + z², qui mesure le carré de la distance a l’origine dans l’espace.

La difference fondamentale avec les fonctions d’une variable, c’est que tu ne travailles plus sur une courbe dans le plan, mais sur une surface (pour deux variables) ou un objet de dimension supérieure (pour trois variables et plus). Cette richesse géométrique ouvre la porte a de nombreuses applications en physique, en economie et en ingenierie.

Par exemple, la temperature T(x, y) en un point d’une plaque metallique, la pression P(V, T) d’un gaz parfait en fonction du volume et de la temperature, ou encore l’altitude z(x, y) d’un terrain geographique sont toutes des fonctions de plusieurs variables que tu rencontreras frequemment.

Domaine de définition

Le domaine de définition d’une fonction de plusieurs variables est l’ensemble des points ou la fonction est effectivement definie. Pour le determiner, tu dois identifier toutes les contraintes imposees par l’expression de la fonction.

Les restrictions les plus courantes sont :

• Le denominateur ne doit pas s’annuler : si f(x, y) = 1/(x² + y²), alors le point (0, 0) est exclu.
• L’argument d’une racine carrée doit etre positif ou nul : si f(x, y) = √(1 – x² – y²), alors on doit avoir x² + y² ≤ 1, ce qui donne un disque ferme de rayon 1.
• L’argument d’un logarithme doit etre strictement positif : si f(x, y) = ln(x + y), alors x + y > 0.

Pour representer le domaine de définition, tu dessines dans le plan (x, y) la region qui vérifié toutes les contraintes. Les frontieres du domaine sont souvent des courbes (cercles, droites, paraboles) dont tu dois determiner si elles appartiennent ou non au domaine.

Prenons un exemple complet : soit f(x, y) = ln(y – x²) / √(4 – x² – y²). Tu as deux conditions a satisfaire simultanement : y – x² > 0 (donc y > x², c’est-a-dire au-dessus de la parabole y = x²) et 4 – x² – y² > 0 (donc x² + y² < 4, c’est-a-dire l’interieur du disque de rayon 2). Le domaine est l’intersection de ces deux regions : la partie du disque ouvert de rayon 2 situee strictement au-dessus de la parabole y = x².

Représentation graphique (surfaces)

Le graphe d’une fonction de deux variables f(x, y) est une surface dans l’espace ℝ³. Chaque point de cette surface a pour coordonnees (x, y, f(x, y)). Visualiser ces surfaces est essentiel pour developper ton intuition géométrique.

Parmi les surfaces classiques que tu dois connaitre :

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la topologie générale en L1.

• Le paraboloide elliptique : z = x² + y². C’est une sorte de bol qui s’ouvre vers le haut, avec un minimum en (0, 0, 0).
• Le paraboloide hyperbolique (selle de cheval) : z = x² – y². Cette surface monte dans la direction x et descend dans la direction y. Le point (0, 0, 0) est un point-selle.
• Le cone : z = √(x² + y²). La surface forme un cone de revolution autour de l’axe z.
• La sphere : x² + y² + z² = R². Attention, ce n’est pas le graphe d’une fonction (un meme couple (x, y) peut donner deux valeurs de z).

Les courbes de niveau sont un outil precieux pour representer une surface en deux dimensions. Une courbe de niveau de valeur c est l’ensemble des points (x, y) tels que f(x, y) = c. C’est le meme principe que les courbes d’altitude sur une carte topographique.

Pour le paraboloide z = x² + y², les courbes de niveau sont des cercles centres a l’origine : x² + y² = c, avec c ≥ 0. Plus c augmente, plus le cercle est grand, ce qui indique que la surface monte quand on s’eloigne de l’origine.

Pour la selle z = x² – y², les courbes de niveau sont des hyperboles (pour c ≠ 0) et deux droites croisees (pour c = 0). Cette forme traduit le changement de courbure selon la direction.

Limites et continuite

La notion de limite pour une fonction de plusieurs variables est plus delicate que pour une seule variable. Quand tu ecris que f(x, y) tend vers L quand (x, y) tend vers (a, b), cela signifie que f(x, y) se rapproche de L quel que soit le chemin emprunte pour s’approcher de (a, b).

C’est la grande difference avec les fonctions d’une variable, ou tu n’avais que deux directions possibles (la gauche et la droite). Ici, tu peux arriver au point (a, b) par une infinite de chemins : des droites de toutes les pentes, des paraboles, des spirales, etc.

Pour montrer qu’une limite n’existe pas, il suffit de trouver deux chemins differents qui donnent des limites differentes. C’est la méthode la plus efficace.

Prenons f(x, y) = xy / (x² + y²) au voisinage de (0, 0). Le long de l’axe des x (y = 0), f(x, 0) = 0. Le long de la droite y = x, f(x, x) = x² / (2x²) = 1/2. Deux chemins donnent deux résultats differents : la limite n’existe pas.

Pour montrer qu’une limite existe, tu peux utiliser le passage en coordonnees polaires : x = r cos(θ), y = r sin(θ). Si l’expression obtenue tend vers L quand r → 0, independamment de θ, alors la limite vaut L.

Par exemple, f(x, y) = x²y / (x² + y²). En polaires : f = r³ cos²(θ) sin(θ) / r² = r cos²(θ) sin(θ). Comme |cos²(θ) sin(θ)| ≤ 1, on a |f| ≤ r → 0. La limite est 0.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les équations différentielles en L1.

La continuite se definit comme pour les fonctions d’une variable : f est continue en (a, b) si la limite de f en (a, b) existe et vaut f(a, b). Les fonctions construites a partir d’opérations algébriques et de fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition.

Dérivées partielles

La dérivée partielle est la généralisation naturelle de la dérivée ordinaire aux fonctions de plusieurs variables. L’idee est simple : tu derives par rapport a une variable en traitant toutes les autres comme des constantes.

Prenons f(x, y) = x³y + 2xy² – 3x + 5y.

• ∂f/∂x = 3x²y + 2y² – 3 (on derive par rapport a x, y est traite comme une constante)
• ∂f/∂y = x³ + 4xy + 5 (on derive par rapport a y, x est traite comme une constante)

Les dérivées partielles d’ordre supérieur s’obtiennent en derivant a nouveau. Tu peux deriver deux fois par rapport a x (∂²f/∂x²), deux fois par rapport a y (∂²f/∂y²), ou en croisant (∂²f/∂x∂y et ∂²f/∂y∂x).

Le théorème de Schwarz affirme que si les dérivées partielles croisees sont continues, alors elles sont egales : ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x. En pratique, c’est presque toujours le cas pour les fonctions que tu rencontreras en L1.

L’interprétation géométrique de la dérivée partielle ∂f/∂x en un point (a, b) est la pente de la surface z = f(x, y) dans la direction de l’axe des x, au point (a, b, f(a, b)). De meme, ∂f/∂y donne la pente dans la direction de l’axe des y.

Gradient

Le gradient d’une fonction f de n variables est le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de f. C’est un objet fondamental en analyse multivariable.

Pour une fonction de deux variables, le gradient est :

∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Pour trois variables :

∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Le gradient possede deux propriétés géométriques majeures :

• Direction de plus grande pente : en chaque point, le gradient pointe dans la direction ou la fonction croit le plus rapidement. Si tu veux monter le plus vite possible sur une surface, suis la direction du gradient.
• Orthogonalite aux courbes de niveau : le gradient est perpendiculaire aux courbes de niveau de la fonction. Sur une carte topographique, le gradient pointe « droit vers le haut de la pente », perpendiculairement aux lignes d’altitude.

La norme du gradient, ||∇f||, mesure la rapidite de variation de f dans la direction de plus grande pente. Un gradient de grande norme signifie que la fonction varie brutalement ; un gradient nul indique un point critique (maximum, minimum ou point-selle).

Ce thème est développé dans notre article sur la géométrie analytique en L1.

Prenons f(x, y) = x² + 3y². Alors ∇f = (2x, 6y). Au point (1, 1), le gradient vaut (2, 6). La direction de plus grande pente est (2, 6), soit approximativement 71,6° par rapport a l’axe des x. Les courbes de niveau sont des ellipses x² + 3y² = c, et le gradient au point (1, 1) est bien perpendiculaire a l’ellipse passant par ce point.

Différentielle

La différentielle est l’approximation lineaire d’une fonction de plusieurs variables au voisinage d’un point. Elle generalise la notion de « meilleure approximation affine » des fonctions d’une variable.

Si f est differentiable en (a, b), alors au voisinage de ce point :

f(a + h, b + k) ≈ f(a, b) + ∂f/∂x(a, b) · h + ∂f/∂y(a, b) · k

La différentielle de f en (a, b) est l’application lineaire :

df_(a,b)(h, k) = ∂f/∂x(a, b) · h + ∂f/∂y(a, b) · k

On note souvent de maniere abregee : df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy.

Attention : l’existence des dérivées partielles ne garantit pas la differentiabilite. Une fonction peut avoir des dérivées partielles en un point sans etre differentiable (ni meme continue) en ce point. En revanche, si les dérivées partielles existent et sont continues au voisinage du point, alors la fonction est differentiable : c’est le théorème suffisant de differentiabilite.

Le plan tangent a la surface z = f(x, y) au point (a, b, f(a, b)) a pour équation :

z = f(a, b) + ∂f/∂x(a, b) · (x – a) + ∂f/∂y(a, b) · (y – b)

Ce plan est la traduction géométrique de la différentielle : il « colle » a la surface au point considere et constitue la meilleure approximation plane de la surface au voisinage de ce point.

Par exemple, pour f(x, y) = x² + y² au point (1, 2), on a f(1, 2) = 5, ∂f/∂x = 2x = 2, ∂f/∂y = 2y = 4. Le plan tangent est z = 5 + 2(x – 1) + 4(y – 2) = 2x + 4y – 5.

Erreurs frequentes

Exercices corriges

Exercice 1 : Domaine de définition

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Deux conditions a satisfaire simultanement :

1) Pour la racine : 9 – x² – y² ≥ 0, donc x² + y² ≤ 9 (disque ferme de rayon 3).

2) Pour le logarithme : x + y – 1 > 0, donc x + y > 1 (demi-plan au-dessus de la droite x + y = 1).

Le domaine D est l’intersection de ces deux ensembles : la partie du disque ferme de rayon 3 situee strictement au-dessus de la droite x + y = 1. La frontiere du disque est incluse (trait plein) mais la droite x + y = 1 est exclue (pointilles).

Exercice 2 : Limite en (0, 0)

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Testons deux chemins differents :

Le long de l’axe des x (y = 0) : f(x, 0) = x² / x² = 1.

Le long de l’axe des y (x = 0) : f(0, y) = -y² / y² = -1.

Les limites sont differentes selon le chemin choisi (1 ≠ -1), donc la limite de f en (0, 0) n’existe pas.

Exercice 3 : Dérivées partielles

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∂f/∂x : on derive par rapport a x en traitant y comme une constante.

– Dérivée de e^x²y par rapport a x : la dérivée de x²y par rapport a x est 2xy, donc par composition on obtient 2xy · e^x²y.

– Dérivée de ln(x + 2y) par rapport a x : 1 / (x + 2y).

Donc ∂f/∂x = 2xy · e^x²y + 1 / (x + 2y).

∂f/∂y : on derive par rapport a y en traitant x comme une constante.

– Dérivée de e^x²y par rapport a y : la dérivée de x²y par rapport a y est x², donc on obtient x² · e^x²y.

– Dérivée de ln(x + 2y) par rapport a y : 2 / (x + 2y).

Donc ∂f/∂y = x² · e^x²y + 2 / (x + 2y).

Exercice 4 : Gradient et plan tangent

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Calculons les dérivées partielles :

∂f/∂x = 3x² – 3y et ∂f/∂y = -3x + 3y².

Au point (1, 2) :

∂f/∂x(1, 2) = 3(1)² – 3(2) = 3 – 6 = -3

∂f/∂y(1, 2) = -3(1) + 3(2)² = -3 + 12 = 9

Le gradient est ∇f(1, 2) = (-3, 9).

f(1, 2) = 1 – 6 + 8 = 3.

L’équation du plan tangent est : z = 3 + (-3)(x – 1) + 9(y – 2) = 3 – 3x + 3 + 9y – 18 = -3x + 9y – 12.

Soit z = -3x + 9y – 12.

Exercice 5 : Différentielle et approximation

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On choisit le point (a, b) = (3, 4) proche de (3.02, 3.97), avec dx = 0.02 et dy = -0.03.

f(3, 4) = √(9 + 16) = √25 = 5.

∂f/∂x = x / √(x² + y²), donc ∂f/∂x(3, 4) = 3/5 = 0.6.

∂f/∂y = y / √(x² + y²), donc ∂f/∂y(3, 4) = 4/5 = 0.8.

df = 0.6 × 0.02 + 0.8 × (-0.03) = 0.012 – 0.024 = -0.012.

Donc f(3.02, 3.97) ≈ 5 + (-0.012) = 4.988.

Vérification : la valeur exacte est √(9.1204 + 15.7609) = √(24.8813) ≈ 4.98812. L’approximation est tres precise.

FAQ

Quelle est la difference entre dérivée partielle et dérivée totale ?

La dérivée partielle ∂f/∂x mesure la variation de f quand seul x varie, les autres variables restant fixes. La dérivée totale (ou différentielle) prend en compte la variation simultanee de toutes les variables. Si x et y dependent eux-memes d’un parametre t, la dérivée totale df/dt s’obtient par la regle de la chaine : df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt).

Comment savoir si une fonction de deux variables est continue en un point ?

Si la fonction est construite a partir d’opérations algébriques et de fonctions usuelles (polynomes, exponentielles, sinus, logarithmes, etc.), elle est continue sur tout son domaine de définition. Les problèmes de continuite se posent uniquement aux points ou la fonction est prolongee par une valeur specifique (typiquement l’origine). Dans ce cas, tu dois vérifier que la limite de la fonction en ce point existe et vaut la valeur du prolongement.

A quoi sert le gradient en pratique ?

Le gradient intervient dans de nombreux domaines. En physique, le champ electrique est l’oppose du gradient du potentiel. En optimisation, la méthode de descente de gradient utilise -∇f pour trouver les minima d’une fonction (c’est le fondement de l’apprentissage automatique). En meteorologie, le gradient de pression indique la direction du vent.

Peut-on toujours utiliser les coordonnees polaires pour calculer une limite ?

Les coordonnees polaires sont un outil puissant mais pas universel. Elles fonctionnent bien quand la fonction a une expression « homogene » en x et y. Si apres passage en polaires, l’expression depend encore de l’angle θ et ne tend pas vers une valeur unique quand r → 0, alors la limite n’existe pas. Inversement, si l’expression est majoree par une puissance de r qui tend vers 0, la limite existe et vaut 0.

Le théorème de Schwarz est-il toujours valable ?

Le théorème de Schwarz (∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x) necessite que les dérivées partielles croisees soient continues au voisinage du point considere. Sans cette hypothèse, l’egalite peut etre mise en defaut. Un contre-exemple classique est f(x, y) = xy(x² – y²)/(x² + y²) (prolongee par 0 en l’origine), pour laquelle ∂²f/∂x∂y(0, 0) = 1 mais ∂²f/∂y∂x(0, 0) = -1. En pratique, dans les exercices de L1, les conditions du théorème sont presque toujours verifiees.