La logique mathématique est le fondement de toute la rigueur en mathématiques. Au CAPES, tu dois maîtriser les connecteurs logiques, les quantificateurs, les méthodes de démonstration et la théorie des ensembles. Ces outils ne sont pas un simple exercice de formalisme : ils structurent chaque preuve, chaque raisonnement, chaque argument que tu construiras dans ta carrière d’enseignant. Cet article reprend en profondeur l’ensemble des notions de logique exigibles au CAPES, avec des démonstrations détaillées, des exercices corrigés et les erreurs classiques à éviter.
Les propositions et connecteurs logiques
Une proposition est un énoncé mathématique qui possède une valeur de vérité : elle est soit vraie, soit fausse. Les expressions « 7 est premier » ou « 4 est pair » sont des propositions. En revanche, « x est positif » n’en est pas une tant que x n’est pas fixé : c’est un prédicat.
La négation
La négation d’une proposition P, notée ¬P (ou parfois non P), inverse sa valeur de vérité. Si P est vraie, ¬P est fausse, et réciproquement. La table de vérité est immédiate :
P = V → ¬P = F
P = F → ¬P = V
La négation de P est la proposition ¬P qui est vraie exactement quand P est fausse.
Propriété fondamentale : ¬(¬P) ≡ P (double négation).
La conjonction et la disjonction
La conjonction « P ∧ Q » (P et Q) est vraie uniquement lorsque P et Q sont toutes les deux vraies. La disjonction « P ∨ Q » (P ou Q) est vraie dès que l’une au moins des deux propositions est vraie. Attention, en mathématiques, le « ou » est toujours inclusif : si P et Q sont vraies simultanément, P ∨ Q reste vraie.
Tables de vérité de la conjonction :
P = V, Q = V → P ∧ Q = V
P = V, Q = F → P ∧ Q = F
P = F, Q = V → P ∧ Q = F
P = F, Q = F → P ∧ Q = F
Tables de vérité de la disjonction :
P = V, Q = V → P ∨ Q = V
P = V, Q = F → P ∨ Q = V
P = F, Q = V → P ∨ Q = V
P = F, Q = F → P ∨ Q = F
L’implication
L’implication « P ⇒ Q » (si P alors Q) est le connecteur le plus délicat. Elle est fausse dans un seul cas : quand P est vraie et Q est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie. Le cas qui piège le plus : quand P est fausse, l’implication P ⇒ Q est vraie quelle que soit la valeur de Q. On dit que l’implication est « vacuement vraie ».
⚠️ Piège classique — L’implication vacuement vraie
L’énoncé « Si 2 = 3, alors la Terre est plate » est une implication vraie. L’hypothèse (2 = 3) est fausse, donc l’implication est vraie quoi que dise la conclusion. C’est un point qui déstabilise beaucoup de candidats au CAPES, mais c’est cohérent avec la définition : l’implication ne dit rien quand l’hypothèse est fausse.
En pratique, retiens que P ⇒ Q est logiquement équivalente à ¬P ∨ Q. C’est cette équivalence qui justifie la table de vérité.
L’équivalence
L’équivalence « P ⇔ Q » signifie que P et Q ont la même valeur de vérité. Elle est vraie quand P et Q sont toutes deux vraies, ou toutes deux fausses. L’équivalence revient à la conjonction de deux implications : (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P). C’est pourquoi, pour démontrer une équivalence, on démontre souvent les deux sens séparément.
• Lois de De Morgan : ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q et ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
• Distributivité : P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
• Contraposée : (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P)
• Équivalence et double implication : (P ⇔ Q) ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)
Les quantificateurs
Les quantificateurs permettent de transformer un prédicat (un énoncé dépendant d’une variable) en une proposition. Il en existe deux : le quantificateur universel ∀ (« pour tout ») et le quantificateur existentiel ∃ (« il existe »).
Le quantificateur universel ∀
L’énoncé « ∀x ∈ E, P(x) » affirme que la propriété P(x) est vraie pour tous les éléments x de l’ensemble E. Pour prouver un tel énoncé, tu dois raisonner sur un élément x quelconque (arbitraire) de E et montrer que P(x) est vrai. Pour le réfuter, il suffit de trouver un seul contre-exemple.
Le quantificateur existentiel ∃
L’énoncé « ∃x ∈ E, P(x) » affirme qu’il existe au moins un élément x de E pour lequel P(x) est vrai. Pour le prouver, il suffit d’exhiber un tel x, ou de montrer son existence par un argument indirect. Pour le réfuter, tu dois montrer que P(x) est faux pour tous les x de E.
Négation des quantificateurs
C’est un point essentiel pour le CAPES. La négation inverse les quantificateurs :
• ¬(∀x ∈ E, P(x)) ≡ ∃x ∈ E, ¬P(x)
• ¬(∃x ∈ E, P(x)) ≡ ∀x ∈ E, ¬P(x)
En clair : « ce n’est pas vrai que tous les x vérifient P » signifie « il en existe au moins un qui ne vérifie pas P ». Et « il n’existe aucun x vérifiant P » signifie « tous les x ne vérifient pas P ».
Appliquons cela à un exemple concret. Soit la proposition : « Pour tout ε > 0, il existe N ∈ ℕ tel que pour tout n ≥ N, |uₙ − ℓ| < ε ». C'est la définition de la convergence d'une suite. Sa négation est : « Il existe ε > 0 tel que pour tout N ∈ ℕ, il existe n ≥ N tel que |uₙ − ℓ| ≥ ε ». Chaque quantificateur est inversé, le prédicat final est nié.
Pour nier une proposition avec plusieurs quantificateurs imbriqués, procède mécaniquement de gauche à droite : inverse chaque quantificateur (∀ ↔ ∃) et nie la propriété finale. N’essaie jamais de nier « intuitivement » : applique la règle formelle.
Les méthodes de démonstration
Au CAPES, tu dois maîtriser les principales techniques de preuve. Chacune repose sur un principe logique précis.
La démonstration directe
C’est la méthode la plus naturelle. Pour prouver P ⇒ Q, tu supposes P vraie et tu en déduis Q par une chaîne de déductions. Par exemple, pour montrer que le carré d’un entier impair est impair : tu poses n = 2k + 1 (hypothèse : n est impair), tu calcules n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est bien de la forme 2m + 1, donc impair.
La démonstration par contraposée
Puisque (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P), tu peux montrer P ⇒ Q en montrant ¬Q ⇒ ¬P. C’est utile quand Q est plus facile à nier que P n’est facile à exploiter.
Exemple : montrons que si n² est pair, alors n est pair. Par contraposée, supposons que n est impair (¬Q). Alors n = 2k + 1, donc n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est impair (¬P). La contraposée est démontrée, donc l’implication initiale aussi.
La démonstration par l’absurde
Pour montrer P, tu supposes ¬P et tu en déduis une contradiction. Le principe du tiers exclu garantit alors que P est vraie. C’est la méthode reine pour les résultats d’existence ou d’irrationalité.
Démontrons que √2 est irrationnel. Supposons par l’absurde que √2 = p/q avec p et q entiers, q ≠ 0, et p/q irréductible. Alors 2 = p²/q², donc p² = 2q². Ainsi p² est pair, donc p est pair (d’après le résultat précédent). Posons p = 2k. Alors 4k² = 2q², donc q² = 2k², donc q² est pair, donc q est pair. Mais alors p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l’irréductibilité de p/q. Contradiction : √2 est irrationnel.
La démonstration par récurrence
Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀, tu vérifies P(n₀) (initialisation), puis tu montres que P(n) ⇒ P(n+1) pour tout n ≥ n₀ (hérédité). Le principe de récurrence, qui est un axiome de l’arithmétique (axiome de Peano), garantit alors que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
1. Initialisation : vérifier P(n₀).
2. Hérédité : soit n ≥ n₀ fixé. Supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence). Montrer P(n+1).
3. Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Variante — Récurrence forte : au lieu de supposer seulement P(n), tu supposes P(k) pour tout n₀ ≤ k ≤ n, et tu montres P(n+1).
Exemple : montrons que pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2.
Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite vaut 1×2/2 = 1. C’est vérifié.
Hérédité : supposons que 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 pour un certain n ≥ 1. Alors :
1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2
La formule est donc vraie au rang n+1. Par récurrence, elle est vraie pour tout n ≥ 1.
La disjonction de cas
Quand la situation se décompose naturellement en plusieurs cas exhaustifs, tu traites chaque cas séparément. Par exemple, pour montrer que n² + n est pair pour tout entier n, tu distingues les cas « n pair » et « n impair », et tu vérifies dans chaque cas.
Théorie des ensembles
La théorie des ensembles fournit le langage dans lequel sont formulées toutes les mathématiques modernes. Au CAPES, tu dois maîtriser les opérations sur les ensembles et les lois qui les gouvernent.
Opérations sur les ensembles
Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E. On définit :
• Intersection : A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}
• Réunion : A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}
• Complémentaire : Aᶜ = {x ∈ E | x ∉ A} (aussi noté E \ A ou A̅)
• Différence : A \ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B} = A ∩ Bᶜ
• Différence symétrique : A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
• (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
• (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
Ces lois se démontrent par double inclusion. Par exemple, pour la première : soit x ∈ (A ∩ B)ᶜ, alors x ∉ A ∩ B, donc ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B), donc (x ∉ A) ∨ (x ∉ B) par De Morgan logique, donc x ∈ Aᶜ ∪ Bᶜ.
Produit cartésien et parties d’un ensemble
Le produit cartésien A × B est l’ensemble des couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B. L’ensemble des parties de E, noté P(E) ou 2ᴱ, est l’ensemble de tous les sous-ensembles de E. Si E a n éléments, P(E) en a 2ⁿ. Ce résultat se démontre par récurrence : à chaque élément ajouté à E, chaque partie existante donne deux parties (avec ou sans le nouvel élément).
Applications, injections, surjections, bijections
Une application f : E → F associe à chaque élément de E un unique élément de F. La notion d’application est fondamentale pour le CAPES : elle intervient partout, de l’analyse à l’algèbre en passant par les probabilités.
Injection
Une application f est injective si des éléments distincts ont des images distinctes : pour tous x₁, x₂ ∈ E, si f(x₁) = f(x₂) alors x₁ = x₂. En d’autres termes, chaque élément de F a au plus un antécédent.
Surjection
Une application f est surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que f(x) = y.
Bijection
Une application f est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Chaque élément de F possède alors exactement un antécédent. Une bijection admet une application réciproque f⁻¹ : F → E telle que f⁻¹ ∘ f = id_E et f ∘ f⁻¹ = id_F.
Méthode 1 : montrer l’injectivité et la surjectivité séparément.
Méthode 2 : construire explicitement l’application réciproque et vérifier les deux compositions.
Méthode 3 (ensembles finis) : si E et F ont le même cardinal fini, il suffit de montrer l’injectivité OU la surjectivité pour conclure à la bijection.
Composition d’applications
Si f : E → F et g : F → G, la composée g ∘ f : E → G est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)). La composition conserve l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité :
• Si f et g sont injectives, g ∘ f est injective.
• Si f et g sont surjectives, g ∘ f est surjective.
• Si g ∘ f est injective, alors f est injective.
• Si g ∘ f est surjective, alors g est surjective.
Relations d’équivalence et d’ordre
Les relations sont un outil puissant pour structurer les ensembles. Deux types dominent au CAPES : les relations d’équivalence et les relations d’ordre.
Relation d’équivalence
Une relation ~ sur un ensemble E est une relation d’équivalence si elle est :
• Réflexive : pour tout x ∈ E, x ~ x.
• Symétrique : pour tous x, y ∈ E, si x ~ y alors y ~ x.
• Transitive : pour tous x, y, z ∈ E, si x ~ y et y ~ z alors x ~ z.
La classe d’équivalence de x, notée [x] ou x̄, est l’ensemble des éléments équivalents à x : [x] = {y ∈ E | y ~ x}. L’ensemble quotient E/~ est l’ensemble des classes d’équivalence. Les classes forment une partition de E : elles sont non vides, deux à deux disjointes, et leur réunion est E.
Exemple fondamental : la congruence modulo n sur ℤ. On pose a ≡ b [n] si n divise a − b. C’est une relation d’équivalence, et l’ensemble quotient ℤ/nℤ possède exactement n classes. Ce résultat relie directement la logique à l’arithmétique et aux structures algébriques.
Relation d’ordre
Une relation ≤ sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique (si x ≤ y et y ≤ x alors x = y) et transitive. L’ordre est total si pour tous x, y ∈ E, on a x ≤ y ou y ≤ x. Sinon, il est partiel.
Exemples : l’ordre usuel sur ℝ est total ; l’inclusion ⊂ sur P(E) est un ordre partiel ; la divisibilité sur ℕ* est un ordre partiel.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Nier des propositions quantifiées
Énoncé : Écrire la négation de chacune des propositions suivantes.
a) ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
b) ∃n ∈ ℕ, ∀m ∈ ℕ, n ≤ m
c) ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |uₙ| < ε
Correction :
a) ∃x ∈ ℝ, x² < 0. On inverse ∀ en ∃ et on nie l'inégalité.
b) ∀n ∈ ℕ, ∃m ∈ ℕ, n > m. Chaque quantificateur est inversé, et la propriété finale est niée.
c) ∃ε > 0, ∀N ∈ ℕ, ∃n ≥ N, |uₙ| ≥ ε. C’est la négation de la convergence vers 0 : la suite (uₙ) ne converge pas vers 0.
Exercice 2 — Prouver une implication par contraposée
Énoncé : Montrer que pour tout entier n, si n² est divisible par 3, alors n est divisible par 3.
Correction : On démontre la contraposée : si n n’est pas divisible par 3, alors n² n’est pas divisible par 3.
Si 3 ne divise pas n, alors n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 pour un certain k ∈ ℤ.
Cas 1 : n = 3k + 1. Alors n² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1, qui n’est pas divisible par 3.
Cas 2 : n = 3k + 2. Alors n² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1, qui n’est pas divisible par 3.
Dans les deux cas, n² n’est pas divisible par 3. La contraposée est démontrée, donc l’implication initiale est vraie.
Exercice 3 — Récurrence
Énoncé : Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1, 3 divise 4ⁿ − 1.
Correction :
Initialisation : pour n = 1, 4¹ − 1 = 3, qui est divisible par 3. ✓
Hérédité : supposons que 3 divise 4ⁿ − 1 pour un certain n ≥ 1. Alors 4ⁿ − 1 = 3m pour un entier m.
Calculons 4ⁿ⁺¹ − 1 = 4 × 4ⁿ − 1 = 4(4ⁿ − 1) + 4 − 1 = 4 × 3m + 3 = 3(4m + 1).
Donc 4ⁿ⁺¹ − 1 est divisible par 3. L’hérédité est démontrée.
Conclusion : par récurrence, pour tout n ≥ 1, 3 divise 4ⁿ − 1.
Exercice 4 — Injectivité et surjectivité
Énoncé : Soit f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x³ − x. Étudier l’injectivité et la surjectivité de f.
Correction :
Injectivité : f(0) = 0 et f(1) = 0, mais 0 ≠ 1. Donc f n’est pas injective.
Surjectivité : f est continue sur ℝ (c’est un polynôme). De plus, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ et lim_{x→−∞} f(x) = −∞. Par le théorème des valeurs intermédiaires, f atteint toutes les valeurs réelles. Donc f est surjective.
Exercice 5 — Double inclusion
Énoncé : Montrer que pour tous ensembles A, B, C, on a A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Correction : Procédons par double inclusion.
Sens ⊂ : soit x ∈ A ∩ (B ∪ C). Alors x ∈ A et x ∈ B ∪ C. Donc x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C).
Si x ∈ B : alors x ∈ A ∩ B, donc x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Si x ∈ C : alors x ∈ A ∩ C, donc x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Dans les deux cas, x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ✓
Sens ⊃ : soit x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Alors x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C.
Si x ∈ A ∩ B : alors x ∈ A et x ∈ B, donc x ∈ A et x ∈ B ∪ C, donc x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Si x ∈ A ∩ C : alors x ∈ A et x ∈ C, donc x ∈ A et x ∈ B ∪ C, donc x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Dans les deux cas, x ∈ A ∩ (B ∪ C). ✓
Par double inclusion, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Exercice 6 — Relation d’équivalence
Énoncé : On définit sur ℤ la relation ~ par : a ~ b si et seulement si 5 divise a − b. Montrer que ~ est une relation d’équivalence et déterminer les classes.
Correction :
Réflexivité : pour tout a ∈ ℤ, a − a = 0 = 5 × 0, donc 5 | (a − a), donc a ~ a. ✓
Symétrie : si a ~ b, alors 5 | (a − b), donc a − b = 5k. Alors b − a = −5k = 5(−k), donc 5 | (b − a), donc b ~ a. ✓
Transitivité : si a ~ b et b ~ c, alors a − b = 5k et b − c = 5ℓ. Donc a − c = (a − b) + (b − c) = 5k + 5ℓ = 5(k + ℓ), donc 5 | (a − c), donc a ~ c. ✓
Les classes d’équivalence sont les classes modulo 5 : [0] = {…, −10, −5, 0, 5, 10, …}, [1] = {…, −9, −4, 1, 6, 11, …}, [2], [3], [4]. Il y a exactement 5 classes.
Erreurs fréquentes au CAPES
Beaucoup de candidats écrivent ⇔ là où seul ⇒ est justifié. Pour écrire une équivalence, tu dois avoir prouvé les deux sens. En particulier, dans une résolution d’équation, chaque étape doit être une équivalence (pas seulement une implication) sinon tu risques d’introduire des solutions parasites.
❌ Erreur 2 — Oublier l’initialisation de la récurrence
Sans initialisation, la récurrence ne prouve rien. L’hérédité seule ne suffit pas : elle garantit la propagation, mais il faut un point de départ.
❌ Erreur 3 — Mal nier les quantificateurs
La négation de « ∀x, P(x) » n’est pas « ∀x, ¬P(x) » mais « ∃x, ¬P(x) ». De même, la négation de « ∃x, P(x) » n’est pas « ∃x, ¬P(x) » mais « ∀x, ¬P(x) ».
❌ Erreur 4 — Confondre « pour tout » et « il existe »
L’ordre des quantificateurs compte ! « ∀x, ∃y, x < y » (vrai dans ℝ) est très différent de « ∃y, ∀x, x < y » (faux dans ℝ). Inverser l'ordre change le sens.
FAQ — Logique mathématique au CAPES
Quelle est la différence entre une proposition et un prédicat ?
Une proposition a une valeur de vérité fixée (vraie ou fausse). Un prédicat dépend d’une ou plusieurs variables libres : « x > 3 » est un prédicat, « 5 > 3 » est une proposition. Un prédicat devient une proposition quand on fixe les variables ou quand on les quantifie.
Quand utiliser la contraposée plutôt que la preuve directe ?
La contraposée est souvent plus efficace quand la conclusion Q est « simple à nier » et quand la négation de Q fournit une information exploitable. Par exemple, « si f est continue et injective, alors f est strictement monotone » se démontre plus facilement par contraposée. La preuve par l’absurde, elle, est plutôt réservée aux cas où la propriété ne se prête ni à la preuve directe ni à la contraposée, comme les résultats d’irrationalité ou de dénombrabilité.
Comment savoir si une relation est d’équivalence ou d’ordre ?
Vérifie les trois propriétés. La différence clé : une relation d’équivalence est symétrique, une relation d’ordre est antisymétrique. Si x ~ y implique y ~ x, c’est une relation d’équivalence. Si x ≤ y et y ≤ x impliquent x = y, c’est un ordre.
La récurrence forte est-elle plus puissante que la récurrence simple ?
Pas en termes de ce qu’on peut prouver (elles sont logiquement équivalentes pour les propriétés sur ℕ), mais en termes de facilité de rédaction. La récurrence forte est indispensable quand P(n+1) ne dépend pas seulement de P(n), par exemple dans la décomposition en facteurs premiers où le passage de n à n+1 fait intervenir les rangs inférieurs. Pour approfondir les structures sous-jacentes, consulte le cours sur les fonctions et la continuité.
Faut-il connaître la théorie axiomatique des ensembles (ZFC) pour le CAPES ?
Non. Le CAPES se place dans le cadre de la théorie « naïve » des ensembles, suffisante pour tout le programme. Tu dois connaître les opérations ensemblistes, les lois de De Morgan, le produit cartésien, les notions de partition et de quotient. La théorie axiomatique (axiomes de Zermelo-Fraenkel, axiome du choix) relève plutôt de la L3 ou du master.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
