Probabilités et variables aléatoires – Cours de Maths CAPES

Les probabilites et les variables aleatoires constituent un pilier du programme du CAPES de mathematiques. Que tu prepares l’ecrit ou l’oral, tu vas retrouver ces notions dans des exercices de modelisation, d’estimation, de convergence et de didactique. Ce cours reprend l’ensemble du programme : variable aleatoire discrete et continue, esperance, variance, ecart-type, lois classiques (Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, exponentielle, normale) et le théorème central limite. Chaque notion est illustree par des exemples concrets, des exercices corriges et des astuces pour eviter les erreurs classiques le jour du concours.

Rappels sur les espaces probabilises

Avant de manipuler des variables aleatoires, tu dois maitriser le cadre formel. Un espace probabilise est un triplet (Ω, A, P) ou Ω designe l’univers (l’ensemble de tous les résultats possibles), A une tribu sur Ω (une collection d’evenements fermee par passage au complémentaire et par union denombrable) et P une mesure de probabilite definie sur A.

En pratique, pour le CAPES, tu travailles souvent sur des univers finis ou denombrables. L’essentiel est de savoir poser correctement le modele avant de calculer quoi que ce soit.

La formule des probabilites totales est un outil fondamental. Si (B_1, B_2, …, B_n) forme un système complet d’evenements (les B_k sont deux a deux disjoints et leur reunion donne Ω), alors pour tout evenement A :

P(A) = P(A ∩ B_1) + P(A ∩ B_2) + … + P(A ∩ B_n) = ∑ P(A | B_k) × P(B_k)

La formule de Bayes en decoule :

P(B_k | A) = P(A | B_k) × P(B_k) / P(A)

Ces deux formules interviennent dans une quantite enorme de problèmes au CAPES. Prends le reflexe de les identifier des qu’un enonce mentionne des « categories » ou des « groupes » parmi lesquels on tire un element.

Variables aleatoires discretes

Une variable aleatoire discrete X est une application de Ω dans un ensemble denombrable de valeurs (souvent une partie de R). Elle prend un nombre fini ou infini denombrable de valeurs x_1, x_2, x_3, … avec des probabilites associees P(X = x_k).

Loi de probabilite d’une variable discrete

La loi de X est entierement determinee par la donnee de tous les couples (x_k, P(X = x_k)). On la presente souvent sous forme de tableau :

x_k	x_1	x_2	…	x_n
P(X = x_k)	p_1	p_2	…	p_n

La condition de normalisation impose que ∑ p_k = 1. Si cette somme ne vaut pas 1, ce n’est pas une loi de probabilite : vérifié toujours ce point dans les exercices ou l’on te demande de « montrer que… est une loi ».

Fonction de repartition dans le cas discret

La fonction de repartition F de X est definie par F(x) = P(X ≤ x) pour tout reel x. Dans le cas discret, F est une fonction en escalier. Elle reste constante entre deux valeurs consecutives prises par X, puis fait un saut de hauteur P(X = x_k) au point x_k.

Les propriétés generales de F sont au programme :

• F est croissante au sens large.
• F est continue a droite.
• F tend vers 0 en -∞ et vers 1 en +∞.

Esperance, variance, ecart-type

Esperance d’une variable discrete

L’esperance de X, notee E(X), represente la valeur moyenne de X ponderee par les probabilites. Elle se calcule par :

E(X) = ∑ x_k × P(X = x_k)

Cette somme doit etre absolument convergente lorsque X prend une infinite de valeurs. Quand X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, aucun problème de convergence ne se pose.

Propriétés fondamentales de l’esperance :

• Linearite : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) pour tous reels a et b. Cette propriété vaut que X et Y soient independantes ou non.
• Positivite : si X ≥ 0 presque surement, alors E(X) ≥ 0.
• Esperance d’une constante : E(c) = c pour tout reel c.
• Croissance : si X ≤ Y presque surement, alors E(X) ≤ E(Y).

Variance et ecart-type

La variance mesure la dispersion de X autour de son esperance :

V(X) = E[(X – E(X))²] = E(X²) – [E(X)]²

La seconde expression est la formule de Koenig-Huygens. C’est celle que tu utiliseras le plus en pratique car elle evite de calculer X – E(X) pour chaque valeur. L’ecart-type est simplement σ(X) = √V(X).

Propriétés de la variance :

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur l’estimation et les tests d’hypothèses.

• V(aX + b) = a² V(X) pour tous reels a et b. La constante additive disparait, le facteur multiplicatif est eleve au carré.
• Si X et Y sont independantes, alors V(X + Y) = V(X) + V(Y).
• V(X) ≥ 0, et V(X) = 0 si et seulement si X est constante presque surement.

Les lois discretes classiques

Loi de Bernoulli B(p)

La loi de Bernoulli de parametre p (avec 0 ≤ p ≤ 1) modelise une experience a deux issues. La variable X vaut 1 (succes) avec probabilite p et 0 (echec) avec probabilite q = 1 – p.

E(X) = p et V(X) = p(1 – p) = pq.

C’est la brique élémentaire. Un lancer de piece, un tirage « conforme / defectueux », un test « positif / negatif » : tout se ramene a une epreuve de Bernoulli.

Loi binomiale B(n, p)

Si tu repetes n fois de maniere independante une epreuve de Bernoulli de parametre p, le nombre total de succes X suit une loi binomiale B(n, p). La variable prend les valeurs 0, 1, 2, …, n avec :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 – p)^(n – k)

ou C(n, k) est le coefficient binomial « k parmi n » = n! / (k!(n-k)!).

E(X) = np et V(X) = np(1 – p).

Pour vérifier que c’est bien une loi : la somme des P(X = k) pour k de 0 a n vaut (p + (1-p))^n = 1 par la formule du binome de Newton.

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Chaque lancer constitue une epreuve de Bernoulli avec p = 1/6 (obtenir un 6) et q = 5/6. Les 10 lancers sont independants, donc X suit B(10, 1/6).

P(X = k) = C(10, k) × (1/6)^k × (5/6)^(10-k), pour k de 0 a 10.

E(X) = 10 × 1/6 = 10/6 ≈ 1,67

V(X) = 10 × 1/6 × 5/6 = 50/36 ≈ 1,39

P(X = 2) = C(10, 2) × (1/6)² × (5/6)^8 = 45 × 1/36 × (5/6)^8.

(5/6)^8 ≈ 0,2326. Donc P(X = 2) ≈ 45 × 0,02778 × 0,2326 ≈ 0,2907.

Loi de Poisson P(λ)

La loi de Poisson de parametre λ (λ > 0) modelise le nombre d’evenements rares sur un intervalle donne : nombre d’appels recus dans une heure, nombre de defauts sur une surface, nombre d’accidents par mois. X prend les valeurs 0, 1, 2, 3, … avec :

P(X = k) = e^(-λ) × λ^k / k!

E(X) = λ et V(X) = λ.

Le fait que l’esperance et la variance soient egales est une signature de la loi de Poisson. C’est un bon critère pour la reconnaitre dans un problème.

Loi géométrique G(p)

La loi géométrique de parametre p modelise le rang du premier succes dans une suite d’epreuves de Bernoulli independantes. X prend les valeurs 1, 2, 3, … avec :

P(X = k) = (1 – p)^(k-1) × p

L’interprétation est limpide : il faut k-1 echecs avant le premier succes.

E(X) = 1/p et V(X) = (1 – p) / p².

La loi géométrique est la seule loi discrete a posseder la propriété d’absence de memoire : P(X > m + n | X > m) = P(X > n). Cette propriété revient tres regulierement dans les sujets du CAPES.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les nombres complexes et la géométrie.

Loi hypergeometrique

Quand tu effectues des tirages sans remise dans une population de N elements dont M sont « marques », le nombre X d’elements marques dans un echantillon de taille n suit une loi hypergeometrique H(N, M, n). La formule est :

P(X = k) = C(M, k) × C(N – M, n – k) / C(N, n)

E(X) = nM/N. La loi hypergeometrique se rapproche de la loi binomiale B(n, M/N) quand N est tres grand devant n (tirage avec remise approximatif).

Variables aleatoires continues

Une variable aleatoire X est dite continue (ou a densite) s’il existe une fonction f, appelee densite de probabilite, telle que pour tout intervalle [a, b] :

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ de a a b f(t) dt

La densite f vérifié deux conditions : f(t) ≥ 0 pour tout t, et ∫ de -∞ a +∞ f(t) dt = 1.

Dans le cas continu, P(X = a) = 0 pour toute valeur a. Inclure ou exclure les bornes d’un intervalle ne change donc rien : P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b).

Fonction de repartition dans le cas continu

La fonction de repartition F(x) = P(X ≤ x) est cette fois une fonction continue (et meme derivable sauf eventuellement en un nombre fini de points). La relation entre F et la densite est :

F(x) = ∫ de -∞ a x f(t) dt et reciproquement f(x) = F'(x) aux points de derivabilite.

Esperance et variance dans le cas continu

Les formules deviennent des intégrales :

• E(X) = ∫ de -∞ a +∞ t × f(t) dt
• E(g(X)) = ∫ de -∞ a +∞ g(t) × f(t) dt (théorème de transfert)
• V(X) = E(X²) – [E(X)]² (Koenig-Huygens, toujours valable)

Toutes les propriétés de linearite de l’esperance et les formules sur la variance restent identiques au cas discret.

Les lois continues classiques

Loi uniforme sur [a, b]

X suit une loi uniforme U([a, b]) si sa densite est constante sur cet intervalle :

f(t) = 1/(b – a) si a ≤ t ≤ b, et f(t) = 0 sinon.

E(X) = (a + b) / 2 et V(X) = (b – a)² / 12.

La loi uniforme modelise le choix « au hasard » d’un reel dans un intervalle. Exemple typique : tu choisis un nombre au hasard entre 0 et 1.

Sa fonction de repartition est F(x) = 0 si x < a, F(x) = (x – a)/(b – a) si a ≤ x ≤ b, et F(x) = 1 si x > b.

Loi exponentielle E(λ)

La loi exponentielle de parametre λ (λ > 0) a pour densite :

f(t) = λ e^(-λt) si t ≥ 0, et f(t) = 0 si t < 0.

E(X) = 1/λ et V(X) = 1/λ².

La loi exponentielle est la version continue de la loi géométrique. Elle possede la propriété d’absence de memoire : P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Cette propriété dit que le passe n’influence pas l’avenir : si un composant a deja tenu s heures, la probabilite qu’il tienne encore t heures est la meme que s’il etait neuf.

Le lien avec la loi de Poisson est direct : si les evenements arrivent selon un processus de Poisson d’intensite λ, alors le temps entre deux evenements consecutifs suit une loi E(λ).

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X suit E(0,5). La fonction de survie donne P(X > t) = e^(-0,5t).

P(X > 3) = e^(-0,5 × 3) = e^(-1,5) ≈ 0,2231

La probabilite que le composant fonctionne plus de 3 ans est d’environ 22,3 %.

E(X) = 1/λ = 1/0,5 = 2 ans.

La duree de vie moyenne est de 2 ans.

Ce thème est développé dans notre article sur la continuité et dérivabilité.

Loi normale N(μ, σ²)

La loi normale, ou loi de Gauss, est la reine des lois continues. Sa densite est la fameuse courbe en cloche :

f(t) = (1 / (σ√(2π))) × exp(-(t – μ)² / (2σ²))

ou μ est l’esperance et σ² la variance (σ > 0).

E(X) = μ et V(X) = σ².

La courbe est symétrique par rapport a l’axe x = μ. Le maximum de la densite est atteint en t = μ et vaut 1/(σ√(2π)).

La loi normale centree reduite N(0, 1) est le cas μ = 0 et σ = 1. Sa fonction de repartition est notee Φ, et c’est celle que tu retrouves dans les tables numeriques.

Propriétés de stabilite de la loi normale

La loi normale se comporte remarquablement bien par combinaison lineaire :

• Si X suit N(μ, σ²), alors aX + b suit N(aμ + b, a²σ²) pour tous reels a (≠ 0) et b.
• Si X suit N(μ_1, σ_1²) et Y suit N(μ_2, σ_2²) avec X et Y independantes, alors X + Y suit N(μ_1 + μ_2, σ_1² + σ_2²).

Ces propriétés sont extremement utiles dans les problèmes du CAPES qui portent sur des sommes de variables normales.

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a) On centre et reduit : Z = (X – 10)/2 suit N(0, 1).

P(8 ≤ X ≤ 12) = P((8-10)/2 ≤ Z ≤ (12-10)/2) = P(-1 ≤ Z ≤ 1)

= Φ(1) – Φ(-1) = 2Φ(1) – 1 ≈ 2 × 0,8413 – 1 = 0,6826.

On retrouve la regle des 68 % a un ecart-type.

b) On cherche c tel que Φ((c – 10)/2) = 0,95. Le quantile z_0,95 de la loi N(0,1) vaut environ 1,645.

(c – 10)/2 = 1,645, donc c = 10 + 2 × 1,645 = 13,29.

Le théorème central limite

Le théorème central limite (TCL) est probablement le résultat le plus important de la theorie des probabilites. Il explique pourquoi la loi normale intervient partout : mesures physiques, scores d’examen, erreurs de mesure, etc.

Enonce du TCL

Soit (X_n) une suite de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (i.i.d.) d’esperance μ et de variance σ² (σ² > 0 et finie). Pose S_n = X_1 + X_2 + … + X_n. Alors :

Z_n = (S_n – nμ) / (σ√n) converge en loi vers N(0, 1) quand n → +∞.

En termes de moyenne empirique, si X̄_n = S_n / n :

(X̄_n – μ) / (σ / √n) converge en loi vers N(0, 1).

Autrement dit, pour n assez grand, la somme de n variables i.i.d. se comporte approximativement comme une loi normale, quelle que soit la loi commune des X_k (a condition que la variance existe).

Application du TCL a la loi binomiale

Si X suit B(n, p) avec n grand, alors X est la somme de n variables de Bernoulli independantes. Le TCL donne directement :

(X – np) / √(np(1-p)) converge en loi vers N(0, 1).

On approche alors X par une loi normale N(np, np(1-p)).

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X suit B(200, 0,5). On a E(X) = 100 et V(X) = 200 × 0,5 × 0,5 = 50, donc σ(X) = √50 ≈ 7,07.

On centre et reduit :

P(90 ≤ X ≤ 110) = P((90 – 100)/7,07 ≤ Z ≤ (110 – 100)/7,07) = P(-1,41 ≤ Z ≤ 1,41)

= 2Φ(1,41) – 1. La table donne Φ(1,41) ≈ 0,9207.

P(90 ≤ X ≤ 110) ≈ 2 × 0,9207 – 1 = 0,8414.

En gros, 84 % de chances d’obtenir entre 90 et 110 piles sur 200 lancers.

Inégalités et convergences

Inégalité de Markov

Si X est une variable aleatoire positive, alors pour tout a > 0 :

P(X ≥ a) ≤ E(X) / a

Cette inégalité est tres générale mais donne souvent une borne assez grossiere.

Inégalité de Bienayme-Tchebychev

Pour toute variable aleatoire X d’esperance μ et de variance σ², pour tout ε > 0 :

P(|X – μ| ≥ ε) ≤ σ² / ε²

C’est un raffinement de Markov applique a (X – μ)². La borne reste faible en pratique, mais cette inégalité est cruciale pour les démonstrations theoriques, notamment la loi des grands nombres.

Loi faible des grands nombres

Soit (X_n) une suite i.i.d. d’esperance μ et de variance finie σ². La moyenne empirique X̄_n = (X_1 + … + X_n) / n converge en probabilite vers μ :

Pour tout ε > 0, P(|X̄_n – μ| ≥ ε) → 0 quand n → +∞.

La preuve utilise Bienayme-Tchebychev : P(|X̄_n – μ| ≥ ε) ≤ V(X̄_n) / ε² = σ² / (nε²) → 0.

Loi forte des grands nombres

Sous les memes hypothèses (et meme en ne supposant que l’existence de l’esperance), X̄_n converge presque surement vers μ. C’est un résultat plus fort que la convergence en probabilite, mais sa démonstration est nettement plus technique.

Couples de variables aleatoires

Loi conjointe et lois marginales

Si X et Y sont deux variables discretes, la loi conjointe est definie par tous les P(X = x_i, Y = y_j). Les lois marginales se retrouvent par sommation :

• P(X = x_i) = ∑_j P(X = x_i, Y = y_j)
• P(Y = y_j) = ∑_i P(X = x_i, Y = y_j)

Connaitre les lois marginales ne suffit pas a reconstituer la loi conjointe. En revanche, connaitre la loi conjointe permet de retrouver les lois marginales.

Independance

X et Y sont independantes si et seulement si, pour toutes valeurs x_i et y_j :

P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) × P(Y = y_j)

L’independance implique Cov(X, Y) = 0, mais la réciproque est fausse. Deux variables peuvent etre non correlees (covariance nulle) tout en etant dependantes.

Covariance et coefficient de correlation

La covariance mesure la dependance lineaire entre X et Y :

Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)

Le coefficient de correlation lineaire normalise cette mesure :

ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) × σ(Y))

On a toujours -1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1. Les cas extremes ρ = ±1 correspondent a une relation lineaire exacte entre X et Y.

Fonctions generatrices

Fonction generatrice des probabilites

Pour une variable X a valeurs dans N, on definit G_X(s) = E(s^X) = ∑ P(X = k) × s^k. Cette serie est definie au moins pour |s| ≤ 1. La fonction generatrice determine la loi de X de facon unique. On retrouve les probabilites par les dérivées successives en 0 :

P(X = k) = G_X^(k)(0) / k!

Les moments se calculent aussi : E(X) = G’_X(1) et E(X(X-1)) = G »_X(1), d’ou V(X) = G »_X(1) + G’_X(1) – [G’_X(1)]².

Fonction generatrice des moments

Definie par M_X(t) = E(e^(tX)), elle generalise la précédente au cas continu. Les moments se retrouvent par dérivation en 0 : E(X^k) = M_X^(k)(0). La fonction generatrice des moments, quand elle existe dans un voisinage de 0, determine la loi de X.

Nous vous conseillons également notre cours sur la géométrie analytique et affine.

Exercices de synthese pour le CAPES

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a) f(t) = 3t² ≥ 0 sur [0, 1]. Et ∫ de 0 a 1 de 3t² dt = [t³] de 0 a 1 = 1 – 0 = 1. Les deux conditions sont remplies : f est une densite.

b) P(X ≤ 0,5) = ∫ de 0 a 0,5 de 3t² dt = [t³] de 0 a 0,5 = 0,125.

c) E(X) = ∫ de 0 a 1 de t × 3t² dt = ∫ de 0 a 1 de 3t³ dt = [3t&sup4;/4] de 0 a 1 = 3/4 = 0,75.

E(X²) = ∫ de 0 a 1 de t² × 3t² dt = ∫ de 0 a 1 de 3t&sup4; dt = [3t&sup5;/5] de 0 a 1 = 3/5.

V(X) = E(X²) – [E(X)]² = 3/5 – (3/4)² = 3/5 – 9/16 = 48/80 – 45/80 = 3/80 = 0,0375.

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a) Chaque piece est defectueuse avec probabilite p = 0,05. Les 100 pieces sont supposees independantes. X suit B(100, 0,05).

b) E(X) = 100 × 0,05 = 5. V(X) = 100 × 0,05 × 0,95 = 4,75. Donc σ(X) = √4,75 ≈ 2,18.

c) Approximation de Poisson avec λ = np = 5 : P(X = 0) ≈ e^(-5) × 5&sup0; / 0! = e^(-5) ≈ 0,0067, soit environ 0,67 %.

d) Approximation normale : X ≈ N(5, 4,75). On centre et reduit : P(X ≤ 8) ≈ P(Z ≤ (8 – 5)/2,18) = P(Z ≤ 1,38) ≈ Φ(1,38) ≈ 0,9162.

Environ 91,6 % de chances d’avoir au plus 8 pieces defectueuses.

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a) P(X = k) = c × k pour k de 1 a 6. La condition de normalisation impose c(1+2+3+4+5+6) = 1, soit 21c = 1, donc c = 1/21.

P(X = 1) = 1/21, P(X = 2) = 2/21, P(X = 3) = 3/21 = 1/7, P(X = 4) = 4/21, P(X = 5) = 5/21, P(X = 6) = 6/21 = 2/7.

b) E(X) = ∑ k × k/21 = (1+4+9+16+25+36)/21 = 91/21 = 13/3 ≈ 4,33.

E(X²) = ∑ k² × k/21 = (1+8+27+64+125+216)/21 = 441/21 = 21.

V(X) = 21 – (13/3)² = 21 – 169/9 = 189/9 – 169/9 = 20/9 ≈ 2,22.

c) P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (4+5+6)/21 = 15/21 = 5/7 ≈ 0,714.

Recapitulatif des lois a connaitre

Loi	Type	Parametres	E(X)	V(X)
Bernoulli	Discrete	p	p	p(1-p)
Binomiale	Discrete	n, p	np	np(1-p)
Poisson	Discrete	λ	λ	λ
Géométrique	Discrete	p	1/p	(1-p)/p²
Hypergeometrique	Discrete	N, M, n	nM/N	nM(N-M)(N-n) / (N²(N-1))
Uniforme [a,b]	Continue	a, b	(a+b)/2	(b-a)²/12
Exponentielle	Continue	λ	1/λ	1/λ²
Normale	Continue	μ, σ²	μ	σ²

Les probabilites et les variables aleatoires forment un bloc incontournable du CAPES de mathematiques. La maitrise des lois classiques avec leurs parametres, des approximations (Poisson pour les evenements rares, normale via le TCL), des inégalités (Markov, Bienayme-Tchebychev) et des modes de convergence te donne les outils pour traiter la grande majorite des exercices de l’ecrit et de l’oral. Entraine-toi regulierement sur des sujets complets : c’est la repetition variee qui ancre ces reflexes pour le jour du concours.