Les espaces euclidiens sont les espaces vectoriels de dimension finie munis d’un produit scalaire. En L2, tu dois maîtriser le produit scalaire, la norme euclidienne, l’orthogonalité, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, les projections orthogonales, les matrices orthogonales et les isométries vectorielles. Ces notions unissent l’algèbre linéaire et la géométrie et sont omniprésentes en analyse, en probabilités et en physique. Cet article développe chaque concept avec rigueur, en détaillant les démonstrations clés et en proposant des exercices corrigés conformes au niveau L2.
Produit scalaire et norme euclidienne
Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une forme bilinéaire symétrique définie positive. En d’autres termes, c’est une application ⟨·, ·⟩ : E × E → ℝ qui vérifie les quatre propriétés suivantes.
Une application ⟨·, ·⟩ : E × E → ℝ est un produit scalaire si :
1. Bilinéarité : ⟨αu + βv, w⟩ = α⟨u, w⟩ + β⟨v, w⟩ pour tout α, β ∈ ℝ et u, v, w ∈ E (et symétriquement en la seconde variable).
2. Symétrie : ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ pour tout u, v ∈ E.
3. Positivité : ⟨u, u⟩ ≥ 0 pour tout u ∈ E.
4. Définie : ⟨u, u⟩ = 0 ⟺ u = 0.
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire.
La norme euclidienne associée est ||u|| = √⟨u, u⟩. La distance euclidienne entre deux vecteurs est d(u, v) = ||u − v||. Le produit scalaire canonique sur ℝⁿ est ⟨x, y⟩ = Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢ, qui donne la norme et la distance usuelles.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est le résultat fondamental de la théorie des espaces euclidiens :
|⟨u, v⟩| ≤ ||u|| × ||v|| pour tout u, v ∈ E
avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.
Démonstration : si v = 0, l’inégalité est triviale. Sinon, pour tout t ∈ ℝ, on a ⟨u + tv, u + tv⟩ ≥ 0 (positivité). En développant : ||u||² + 2t⟨u, v⟩ + t²||v||² ≥ 0 pour tout t. Ce trinôme en t est positif ou nul, donc son discriminant est négatif ou nul : 4⟨u, v⟩² − 4||u||²||v||² ≤ 0, d’où |⟨u, v⟩| ≤ ||u|| × ||v||.
L’égalité a lieu si et seulement si le discriminant est nul, c’est-à-dire si u + tv = 0 pour un certain t, donc u et v sont colinéaires.
• L’angle θ entre u et v est bien défini par cos θ = ⟨u, v⟩ / (||u|| ||v||), car le membre de droite est dans [−1, 1].
• L’inégalité triangulaire ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| se déduit de Cauchy-Schwarz en développant ||u + v||².
• L’inégalité est utilisée partout : en probabilités (corrélation), en analyse fonctionnelle (espaces L²), en statistique.
Orthogonalité et bases orthonormées
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si ⟨u, v⟩ = 0. On note u ⊥ v. Une famille (e₁, …, eₙ) est orthogonale si ⟨eᵢ, eⱼ⟩ = 0 pour tout i ≠ j, et orthonormée si de plus ||eᵢ|| = 1 pour tout i.
Soit (e₁, …, eₙ) une base orthonormée de E.
• Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Les coordonnées de v dans cette base sont vᵢ = ⟨v, eᵢ⟩.
• Le produit scalaire s’écrit ⟨u, v⟩ = Σᵢ uᵢvᵢ et la norme ||v||² = Σᵢ vᵢ² (formule de Parseval).
• Tout espace euclidien admet une base orthonormée (existence garantie par Gram-Schmidt).
Procédé de Gram-Schmidt
Le procédé de Gram-Schmidt transforme toute base (v₁, …, vₙ) en une base orthonormée (e₁, …, eₙ) telle que pour tout k, Vect(e₁, …, eₖ) = Vect(v₁, …, vₖ). L’algorithme est le suivant :
1. w₁ = v₁, puis e₁ = w₁/||w₁||.
2. Pour k = 2, …, n : wₖ = vₖ − Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ ⟨vₖ, eⱼ⟩ eⱼ, puis eₖ = wₖ/||wₖ||.
À chaque étape, on soustrait de vₖ sa projection sur le sous-espace engendré par les vecteurs précédents, ce qui donne un vecteur wₖ orthogonal à e₁, …, eₖ₋₁. La normalisation donne un vecteur unitaire.
1. Partir de la base donnée (v₁, …, vₙ).
2. Calculer w₁ = v₁ et e₁ = w₁/||w₁||.
3. Pour chaque vₖ : soustraire ses projections sur tous les eⱼ précédents, normaliser.
4. Vérifier l’orthogonalité : ⟨eᵢ, eⱼ⟩ = 0 pour i ≠ j et ||eᵢ|| = 1.
L’algorithme est stable numériquement dans sa version modifiée (Modified Gram-Schmidt), utilisée en analyse numérique.
Projection orthogonale et supplémentaire orthogonal
Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien E. Le supplémentaire orthogonal de F est F⊥ = {v ∈ E | ⟨v, w⟩ = 0 pour tout w ∈ F}. C’est un sous-espace vectoriel, et on a la décomposition orthogonale : E = F ⊕ F⊥.
Tout vecteur v ∈ E s’écrit de manière unique v = p + q avec p ∈ F et q ∈ F⊥. Le vecteur p est la projection orthogonale de v sur F, notée p_F(v). Si (e₁, …, eₖ) est une base orthonormée de F, alors :
p_F(v) = Σⱼ₌₁ᵏ ⟨v, eⱼ⟩ eⱼ
La projection orthogonale p_F(v) est le vecteur de F le plus proche de v :
||v − p_F(v)|| = min_{w ∈ F} ||v − w||
Ce minimum est atteint en un unique point. La distance de v à F est d(v, F) = ||v − p_F(v)||.
C’est la base de la méthode des moindres carrés en statistique et en analyse de Fourier.
Propriétés importantes : dim(F) + dim(F⊥) = dim(E), (F⊥)⊥ = F, et la matrice de la projection orthogonale sur F dans une base orthonormée est Pₘ = AᵀA(AᵀA)⁻¹Aᵀ (si A est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs d’une base de F). Si la base de F est orthonormée, Pₘ = AAᵀ.
Matrices orthogonales et groupe orthogonal
Une matrice carrée M ∈ Mₙ(ℝ) est orthogonale si MᵀM = Iₙ, c’est-à-dire si ses colonnes forment une base orthonormée de ℝⁿ. De manière équivalente, M est inversible et M⁻¹ = Mᵀ.
Soit M une matrice orthogonale.
• det(M) = ±1.
• Les valeurs propres réelles sont 1 ou −1.
• Les valeurs propres complexes sont de module 1 et viennent par paires conjuguées.
• L’ensemble O(n) des matrices orthogonales de taille n est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal.
• Le sous-groupe SO(n) = {M ∈ O(n) | det(M) = 1} est le groupe spécial orthogonal (rotations).
Isométries en dimension 2
En dimension 2, toute matrice orthogonale est soit une rotation, soit une réflexion :
• Rotation d’angle θ (det = 1) : R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]
• Réflexion par rapport à la droite d’angle θ/2 (det = −1) : S(θ) = [[cos θ, sin θ], [sin θ, −cos θ]]
Isométries en dimension 3
En dimension 3, le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux donne la classification complète. Toute matrice de SO(3) est une rotation autour d’un axe. Sa forme réduite dans une base orthonormée adaptée est :
[[1, 0, 0], [0, cos θ, −sin θ], [0, sin θ, cos θ]]
Toute matrice de O(3) avec det = −1 est le produit d’une rotation et de la symétrie par rapport au plan orthogonal à l’axe de rotation (anti-rotation).
Endomorphismes symétriques et théorème spectral
Un endomorphisme φ d’un espace euclidien E est symétrique (ou auto-adjoint) si ⟨φ(u), v⟩ = ⟨u, φ(v)⟩ pour tout u, v ∈ E. En termes de matrices, φ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique (M = Mᵀ).
Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien de dimension finie est diagonalisable dans une base orthonormée. Autrement dit, pour toute matrice symétrique réelle M :
• Toutes les valeurs propres sont réelles.
• Les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
• Il existe P ∈ O(n) telle que PᵀMP = D (diagonale).
C’est le résultat central de la théorie des espaces euclidiens.
La preuve repose sur deux ingrédients : (1) un endomorphisme symétrique admet au moins une valeur propre réelle (le polynôme caractéristique de degré n a une racine réelle car n est impair, ou par compacité du maximum de la forme quadratique sur la sphère unité) ; (2) si F est un sous-espace propre, alors F⊥ est stable par φ, ce qui permet une récurrence sur la dimension.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Gram-Schmidt
Énoncé : Orthonormaliser la base (v₁, v₂, v₃) = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)) de ℝ³ avec le produit scalaire canonique.
Correction :
Étape 1 : w₁ = v₁ = (1, 1, 0). ||w₁|| = √2. e₁ = (1/√2, 1/√2, 0).
Étape 2 : ⟨v₂, e₁⟩ = 1/√2 + 0 + 0 = 1/√2. w₂ = v₂ − (1/√2)e₁ = (1, 0, 1) − (1/2, 1/2, 0) = (1/2, −1/2, 1). ||w₂|| = √(1/4 + 1/4 + 1) = √(3/2) = √6/2. e₂ = (1/√6, −1/√6, 2/√6).
Étape 3 : ⟨v₃, e₁⟩ = 1/√2. ⟨v₃, e₂⟩ = (0 − 1 + 2)/√6 = 1/√6 … Recalculons : ⟨v₃, e₂⟩ = 0 × 1/√6 + 1 × (−1/√6) + 1 × 2/√6 = −1/√6 + 2/√6 = 1/√6.
w₃ = v₃ − (1/√2)e₁ − (1/√6)e₂ = (0, 1, 1) − (1/2, 1/2, 0) − (1/6, −1/6, 2/6) = (0 − 1/2 − 1/6, 1 − 1/2 + 1/6, 1 − 0 − 1/3) = (−2/3, 2/3, 2/3).
||w₃|| = √(4/9 + 4/9 + 4/9) = √(12/9) = 2√3/3. e₃ = (−1/√3, 1/√3, 1/√3).
Vérification : ⟨e₁, e₂⟩ = 1/(√2√6) − 1/(√2√6) + 0 = 0 . ⟨e₁, e₃⟩ = −1/√6 + 1/√6 + 0 = 0 . ⟨e₂, e₃⟩ = −1/√18 − 1/√18 + 2/√18 = 0 .
Exercice 2 — Projection orthogonale
Énoncé : Soit F = Vect((1, 1, 1)) dans ℝ³ muni du produit scalaire canonique. Calculer la projection orthogonale de v = (4, 2, 0) sur F et la distance de v à F.
Correction : e = (1, 1, 1)/√3 est un vecteur unitaire de F.
p_F(v) = ⟨v, e⟩ e = ((4 + 2 + 0)/√3) × (1/√3)(1, 1, 1) = (6/3)(1, 1, 1) = (2, 2, 2).
d(v, F) = ||v − p_F(v)|| = ||(2, 0, −2)|| = √(4 + 0 + 4) = 2√2.
Exercice 3 — Matrice orthogonale et rotation
Énoncé : Vérifier que M = [[1/3, −2/3, 2/3], [2/3, −1/3, −2/3], [2/3, 2/3, 1/3]] est orthogonale et déterminer l’axe et l’angle de rotation.
Correction : Vérifions MᵀM = I₃. La colonne 1 est c₁ = (1/3, 2/3, 2/3) : ||c₁||² = 1/9 + 4/9 + 4/9 = 1 . c₁ · c₂ = −2/9 − 2/9 + 4/9 = 0 . (Les autres vérifications sont similaires.) det(M) = 1 (à calculer), donc M ∈ SO(3).
L’axe de rotation est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : (M − I)x = 0.
M − I = [[−2/3, −2/3, 2/3], [2/3, −4/3, −2/3], [2/3, 2/3, −2/3]]. Le noyau est engendré par (1, 0, 1) (à vérifier). L’axe est la droite Vect((1, 0, 1)).
L’angle θ vérifie tr(M) = 1 + 2cos θ. tr(M) = 1/3 − 1/3 + 1/3 = 1/3. Donc 2cos θ = 1/3 − 1 = −2/3, cos θ = −1/3, θ = arccos(−1/3) ≈ 109,47°.
Exercice 4 — Théorème spectral
Énoncé : Diagonaliser orthogonalement la matrice A = [[2, 1], [1, 2]].
Correction : A est symétrique réelle. Polynôme caractéristique : det(A − λI) = (2 − λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3).
Valeurs propres : λ₁ = 1 et λ₂ = 3.
E₁ : (A − I)x = 0 → [[1, 1], [1, 1]]x = 0 → x₂ = −x₁. Vecteur propre : v₁ = (1, −1)/√2.
E₃ : (A − 3I)x = 0 → [[−1, 1], [1, −1]]x = 0 → x₁ = x₂. Vecteur propre : v₂ = (1, 1)/√2.
P = [[1/√2, 1/√2], [−1/√2, 1/√2]]. PᵀAP = [[1, 0], [0, 3]].
Vérification : P est orthogonale (PᵀP = I) car (v₁, v₂) est une base orthonormée de ℝ².
Exercice 5 — Supplémentaire orthogonal
Énoncé : Soit F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0}. Déterminer F⊥ et la projection orthogonale de (1, 2, 3) sur F.
Correction : F est le noyau de la forme linéaire φ(x, y, z) = x + y + z. F⊥ = Vect((1, 1, 1)) (le gradient de φ).
dim(F) = 2, dim(F⊥) = 1. Vérifions : F est le plan x + y + z = 0, et (1, 1, 1) est bien orthogonal à ce plan.
Projection de v = (1, 2, 3) sur F⊥ : p_{F⊥}(v) = (⟨v, n⟩/||n||²)n = ((1+2+3)/3)(1, 1, 1) = 2(1, 1, 1) = (2, 2, 2).
Projection sur F : p_F(v) = v − p_{F⊥}(v) = (1, 2, 3) − (2, 2, 2) = (−1, 0, 1).
Vérification : (−1, 0, 1) ∈ F car −1 + 0 + 1 = 0 . Et ⟨(−1, 0, 1), (1, 1, 1)⟩ = −1 + 0 + 1 = 0 .
Exercice 6 — Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée
Énoncé : Montrer que pour tous réels a₁, …, aₙ et b₁, …, bₙ, on a (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²).
Correction : Posons u = (a₁, …, aₙ) et v = (b₁, …, bₙ) dans ℝⁿ muni du produit scalaire canonique. Alors ⟨u, v⟩ = Σaᵢbᵢ, ||u||² = Σaᵢ² et ||v||² = Σbᵢ². L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne |⟨u, v⟩| ≤ ||u|| × ||v||, d’où en élevant au carré : (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²).
Cas d’égalité : si et seulement si u et v sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe λ ∈ ℝ tel que aᵢ = λbᵢ pour tout i (ou l’un des vecteurs est nul).
Erreurs fréquentes en L2
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, mais la réciproque est fausse. Une base n’est pas forcément orthogonale. C’est justement le rôle de Gram-Schmidt de transformer une base quelconque en base orthonormée.
Erreur 2 — Oublier de normaliser dans Gram-Schmidt
Le procédé comporte deux opérations : orthogonaliser (soustraire les projections) ET normaliser (diviser par la norme). Oublier l’une des deux donne un résultat incorrect.
Erreur 3 — Appliquer le théorème spectral à une matrice non symétrique
Le théorème spectral s’applique uniquement aux matrices symétriques réelles (ou hermitiennes complexes). Une matrice non symétrique peut ne pas être diagonalisable, ou avoir des valeurs propres complexes. Par exemple, [[0, −1], [1, 0]] a pour valeurs propres ±i.
Erreur 4 — Confondre F⊥ et le complémentaire ensembliste
F⊥ est un sous-espace vectoriel, pas le complémentaire ensembliste E \ F. Par exemple, si F = Vect(e₁) dans ℝ², alors F⊥ = Vect(e₂), pas ℝ² \ F. La relation fondamentale est E = F ⊕ F⊥. Le lien avec la topologie des espaces vectoriels s’approfondit en analyse fonctionnelle.
FAQ — Espaces euclidiens L2
Quelle est la différence entre un espace euclidien et un espace de Hilbert ?
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Un espace de Hilbert est la généralisation en dimension infinie : c’est un espace préhilbertien complet (toute suite de Cauchy converge). Les espaces L²(ℝ) et ℓ²(ℕ) sont des espaces de Hilbert. Le théorème spectral se généralise aux opérateurs compacts auto-adjoints sur les espaces de Hilbert.
Pourquoi le produit scalaire doit-il être défini positif ?
La condition « définie positive » garantit que ||v|| = 0 si et seulement si v = 0, ce qui est nécessaire pour que la norme soit une vraie norme et que la distance soit une vraie distance. Sans cette condition (forme bilinéaire symétrique non dégénérée mais pas positive), on obtient un espace pseudo-euclidien (comme l’espace de Minkowski en relativité restreinte), où la « norme » peut être nulle pour des vecteurs non nuls.
Le théorème spectral a-t-il un analogue pour les matrices complexes ?
Oui, c’est le théorème spectral pour les matrices hermitiennes. Une matrice A est hermitienne si A = Ā ᵀ (conjuguée transposée). Toute matrice hermitienne est diagonalisable dans une base unitaire (orthonormée pour le produit hermitien), avec des valeurs propres réelles. C’est la version complexe du théorème spectral euclidien. Plus généralement, les matrices normales (AA* = A*A) sont unitairement diagonalisables.
À quoi sert la décomposition QR ?
La décomposition QR écrit toute matrice A ∈ Mₙ(ℝ) inversible comme A = QR, où Q est orthogonale et R est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs. C’est une conséquence directe du procédé de Gram-Schmidt appliqué aux colonnes de A. La décomposition QR est fondamentale en analyse numérique pour la résolution de systèmes linéaires et le calcul de valeurs propres (algorithme QR).
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
