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Comment déterminer le sommet et l’axe de symétrie d’une fonction du second degré ? Apprends à utiliser les formes canoniques et le tableau de variations.
Introduction aux fonctions du second degré
Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des coefficients réels et a ≠ 0. Cette fonction est également appelée trinôme du second degré et joue un rôle central dans l’étude des courbes paraboliques.
Forme canonique et caractéristiques
La forme canonique d’une fonction du second degré permet de mieux comprendre ses propriétés géométriques. Elle s’écrit f(x) = a(x – h)² + k, où (h, k) représente le sommet de la parabole. Cette forme facilite l’identification de l’axe de symétrie de la courbe.
📝 Exemple : Convertissons f(x) = 2x² + 8x + 6 en forme canonique. On complète le carré et obtient f(x) = 2(x + 2)² – 2. Le sommet est donc (-2, -2) et l’axe de symétrie est la droite x = -2.
Calcul du discriminant et solutions
Le discriminant, noté Δ, est une valeur calculée à partir des coefficients de la fonction : Δ = b² – 4ac. Il permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l’équation f(x) = 0.
📌 Lorsque Δ > 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes. Si Δ = 0, il y a une solution unique, et si Δ < 0, aucune solution réelle n’existe.
Variations et tableau de variation
Étudier les variations d’une fonction du second degré consiste à déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. Le tableau de variation résume ces informations de manière claire.
🛠️ Technique : Identifie le sommet de la parabole. Si a > 0, la fonction est décroissante jusqu’au sommet et croissante après. Inversement, si a < 0, elle est croissante avant le sommet et décroissante après.
Sommet et axe de symétrie
Le sommet d’une parabole est le point où la fonction atteint son minimum ou son maximum. Il est situé à (h, k) dans la forme canonique. L’axe de symétrie est la droite verticale qui passe par le sommet, donnée par x = h.
✨ Astuce : Pour trouver le sommet à partir de la forme développée, utilise les formules h = -b/(2a) et k = f(h).
Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole qui peut s’ouvrir vers le haut ou vers le bas selon le signe de a. Connaître le sommet, l’axe de symétrie et les points d’intersection avec les axes permet de tracer précisément la courbe.
🎨 Pour dessiner la parabole, commence par placer le sommet, tracer l’axe de symétrie, puis déterminer les points d’intersection avec les axes en résolvant les équations correspondantes.
Résolution d’équations du second degré
Résoudre une équation du second degré revient à trouver les valeurs de x qui annulent la fonction. En fonction du discriminant, les solutions peuvent être obtenues directement ou nécessiter une factorisation.
🔍 Exemple : Pour résoudre 2x² + 8x + 6 = 0, calcule Δ = 64 – 48 = 16. Les solutions sont x = (-8 ± √16)/(2*2), soit x = -1 et x = -3.
Étude du signe d’un trinôme
Étudier le signe d’un trinôme du second degré permet de déterminer sur quels intervalles la fonction est positive ou négative. Cette analyse repose sur les discriminants et la position du sommet.
📈 Pour un trinôme ax² + bx + c, si a > 0 et Δ > 0, la fonction est négative entre les racines et positive en dehors. Si Δ ≤ 0, elle est toujours positive.
Techniques de factorisation
Factoriser une fonction du second degré simplifie la résolution des équations et facilite l’analyse graphique. Cela consiste à écrire le trinôme sous forme de produit de deux binômes.
🛠️ Technique : Cherche deux nombres dont le produit est a*c et la somme est b. Par exemple, pour x² + 5x + 6, les nombres 2 et 3 conviennent car 2*3=6 et 2+3=5. Ainsi, x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
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Résolution d’une équation du second degré en classe de 1ère
Énoncé de l’exercice
Résous l’équation du second degré suivante : 2x² – 4x – 6 = 0 📐.
Utilise les méthodes apprises pour trouver les solutions réelles.
Réfléchis bien à chaque étape pour simplifier tes calculs 🔍.
Instructions
- 🔢 Identifie les coefficients a, b et c dans l’équation.
- 🧮 Calcule le discriminant à l’aide de la formule Δ = b² – 4ac.
- 📈 Détermine le nombre de solutions réelles en fonction de Δ.
- ✏️ Résous l’équation en utilisant les formules appropriées selon le cas.
- ✅ Vérifie tes solutions en les remplaçant dans l’équation initiale.
Correction
📝 Étape 1 : Identifions les coefficients de l’équation 2x² – 4x – 6 = 0.
a = 2, b = -4 et c = -6.
🧮 Étape 2 : Calculons le discriminant Δ :
Δ = (-4)² – 4 × 2 × (-6) = 16 + 48 = 64.
📊 Étape 3 : Comme Δ > 0, il y a deux solutions réelles distinctes.
✏️ Étape 4 : Appliquons les formules des solutions :
x₁ = (4 + √64) / (2 × 2) = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3,
x₂ = (4 – √64) / (2 × 2) = (4 – 8) / 4 = -4 / 4 = -1.
✅ Étape 5 : Vérifions les solutions :
Pour x = 3 : 2(3)² – 4(3) – 6 = 18 – 12 – 6 = 0 ✔️
Pour x = -1 : 2(-1)² – 4(-1) – 6 = 2 + 4 – 6 = 0 ✔️
Les solutions de l’équation sont x = 3 et x = -1.
Analyse d’une fonction du second degré en classe de 1ère
Énoncé de l’exercice
🧮 Considérez la fonction f définie par f(x) = 2x2 – 8x + 6.
🔍 Identifiez la forme canonique de cette fonction et déterminez
les coordonnées du sommet. 📈
Instructions
- 🔢 Calculer le discriminant de la fonction.
- ✏️ Transformer l’expression de la fonction en forme canonique.
- 📌 Identifier les coordonnées du sommet de la parabole.
- 📝 Vérifier les résultats obtenus en résolvant l’équation dérivée.
Correction
🧮 Étape 1 : Calcul du discriminant. Le discriminant Δ est donné par Δ = b² – 4ac.
Ici, a = 2, b = -8 et c = 6.
Δ = (-8)² – 4 × 2 × 6 = 64 – 48 = 16.
✏️ Étape 2 : Transformation en forme canonique. La forme canonique est f(x) = a(x – h)² + k.
On complète le carré :
f(x) = 2(x² – 4x) + 6 = 2[(x² – 4x + 4) – 4] + 6 = 2(x – 2)² – 8 + 6 =
2(x – 2)² – 2.
📌 Étape 3 : Identification des coordonnées du sommet.
D’après la forme canonique, le sommet est en (h, k) = (2, -2).
📝 Étape 4 : Vérification en résolvant l’équation dérivée.
La dérivée de f est f'(x) = 4x – 8.
Pour trouver le minimum, on résout f'(x) = 0 : 4x – 8 = 0 ⟹ x = 2.
En remplaçant dans f(x) : f(2) = 2(2)² – 8×2 + 6 = 8 – 16 + 6 = -2.
Les coordonnées du sommet sont donc bien (2, -2).
Détermination du sommet d’une fonction quadratique
Énoncé de l’exercice
🧮 Considérez la fonction f(x) = 3x² – 12x + 7.
Déterminez la forme canonique de cette fonction ainsi que son sommet et son axe de symétrie.
📈 Utilisez les éléments trouvés pour représenter graphiquement la parabole associée.
Instructions
- 🔍 Identifiez les coefficients a, b et c de la fonction quadratique.
- ✏️ Calculez le discriminant Δ à l’aide de la formule Δ = b² – 4ac.
- 📐 Convertissez la fonction en forme canonique en complétant le carré.
- 📊 Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole.
- 🪁 Identifiez l’axe de symétrie de la parabole.
- 🖌️ Astuce : Utilisez les informations obtenues pour esquisser la courbe.
Correction
✅ Étape 1 : Identifier les coefficients.
Nous avons a = 3, b = -12 et c = 7.
🔢 Étape 2 : Calculer le discriminant Δ.
Δ = (-12)² – 4 × 3 × 7 = 144 – 84 = 60.
🔄 Étape 3 : Convertir en forme canonique.
f(x) = 3x² – 12x + 7 = 3(x² – 4x) + 7
= 3(x² – 4x + 4 – 4) + 7
= 3(x – 2)² – 12 + 7
= 3(x – 2)² – 5.
📍 Étape 4 : Déterminer les coordonnées du sommet.
La forme canonique est f(x) = 3(x – 2)² – 5.
Ainsi, le sommet est S(2, -5).
🪞 Étape 5 : Identifier l’axe de symétrie.
L’axe de symétrie est la droite x = 2.
🎨 Étape 6 : Représentation graphique.
Avec le sommet S(2, -5) et l’axe de symétrie x = 2, la parabole s’ouvre vers le haut car a > 0.
La courbe est centrée autour de x = 2 et passe par les points déterminés par la fonction.
Réponse finale : La forme canonique de la fonction est f(x) = 3(x – 2)² – 5, le sommet est S(2, -5) et l’axe de symétrie est x = 2.
Conclusion
Tu as vu les fonctions du second degré, comprenant la forme canonique et l’axe de symétrie. Ces outils te permettront de mieux comprendre les courbes paraboliques.
Pour approfondir tes connaissances, consulte un cours particulier et renforce tes compétences.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
