Succession d’épreuves indépendantes et loi binomiale – terminale

Comment la loi binomiale s’applique dans une succession d’épreuves indépendantes en terminale? Pour comprendre cela, nous avons écrit un article complet.

Définir une succession d’épreuves indépendantes

Une succession d’épreuves indépendantes consiste en une série d’expériences aléatoires, où chaque épreuve ne dépend pas des résultats des précédentes. Chaque essai a les mêmes probabilités d’issue, garantissant ainsi une répétabilité dans des conditions identiques.

Comprendre le schéma de Bernoulli

🔍 Le schéma de Bernoulli est un modèle où chaque épreuve ne peut aboutir qu’à deux résultats possibles : succès ou échec. Par exemple, lors du contrôle qualité d’une usine, un composant peut être défectueux ou conforme.

Explorer la loi binomiale

La loi binomiale décrit la probabilité d’obtenir un certain nombre de succès dans une succession d’épreuves indépendantes. Elle est caractérisée par deux paramètres : le nombre d’épreuves n et la probabilité de succès p, notée B(n, p).

Calculer l’espérance et la variance

📊 L’espérance d’une loi binomiale est donnée par le produit des deux paramètres, E(X) = n × p. La variance, quant à elle, s’obtient en multipliant l’espérance par 1 – p. Ces mesures te permettent de comprendre la répartition des succès attendus.

Appliquer la loi binomiale à des exemples concrets

🔧 Supposons qu’une usine fabrique des composants électriques avec une probabilité de succès de 0,95 pour chaque pièce. En prélevant 3 composants, tu peux utiliser la loi binomiale B(3, 0.95) pour déterminer la probabilité d’avoir exactement 2 composants conformes.

Techniques de résolution des exercices

🛠️ Pour résoudre un exercice de loi binomiale, identifie d’abord les paramètres n et p. Utilise ensuite la formule de la probabilité binomiale : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 – p)^(n – k). N’oublie pas d’utiliser les tableaux de combinatoire pour simplifier tes calculs.

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Exercice sur la loi binomiale et épreuves indépendantes

Énoncé de l’exercice

🔧 Une entreprise fabrique des ampoules. La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse est de p = 0,05. Chaque jour, 20 ampoules sont produites.
🎯 Calculez la probabilité qu’exactement 2 ampoules soient défectueuses en une journée.

Instructions

1. 🔍 Identifier le nombre total d’épreuves (n).
2. 🎲 Déterminer la probabilité de succès (p) pour une épreuve.
3. 📊 Appliquer la formule de la loi binomiale pour trouver la probabilité recherchée.
4. 📝 Vérifiez vos calculs pour assurer la précision.

Correction

✅ Étape 1 : Identifier le nombre total d’épreuves. Ici, n = 20 ampoules produites par jour.

🎲 Étape 2 : La probabilité de succès, c’est-à-dire une ampoule défectueuse, est p = 0,05.

📐 Étape 3 : Utiliser la formule de la loi binomiale :
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 – p)^(n – k)
Où C(n, k) est le nombre de combinaisons de n prises k à k.

🔢 Calculons :
C(20, 2) = 190
P(X = 2) = 190 × (0,05)^2 × (0,95)^18 ≈ 190 × 0,0025 × 0,3584859224 ≈ 0,1702

✅ Réponse finale : La probabilité qu’exactement 2 ampoules soient défectueuses en une journée est d’environ 17,02%.

Calcul de probabilités avec la Loi Binomiale

Énoncé de l’exercice

🎯 Une machine dans une usine fabrique des circuits intégrés. La probabilité qu’un circuit soit défectueux est de 2%. Chaque circuit est testé de manière indépendante. Lors d’une journée de production, 50 circuits sont fabriqués.
🔍 Pensez à utiliser la loi binomiale pour résoudre ce problème.

Question : Quelle est la probabilité que exactement 3 circuits soient défectueux dans ce lot ?

Instructions

1. 🔢 Déterminez les paramètres de la loi binomiale, c’est-à-dire n et p.
2. 📝 Appliquez la formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité recherchée.
3. 🔍 Calculez les combinatoires nécessaires et les puissances de p et (1-p).
4. ✅ Interprétez le résultat obtenu.

Correction

✅ Étape 1 : Identifier les paramètres de la loi binomiale.

Ici, n = 50 (nombre de circuits fabriqués) et p = 0.02 (probabilité qu’un circuit soit défectueux).

🧮 Étape 2 : Utiliser la formule de la loi binomiale :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 – p)^(n – k)

Où C(n, k) est le coefficient binomial.

🔍 Étape 3 : Calculer les valeurs nécessaires.

C(50, 3) = 19600

p^3 = (0.02)^3 = 0.000008

(1 – p)^(50 – 3) = (0.98)^47 ≈ 0.364169

📊 Étape 4 : Multiplier les valeurs obtenues :

P(X = 3) = 19600 × 0.000008 × 0.364169 ≈ 0.0571

🎉 Réponse finale : La probabilité qu’exactement 3 circuits soient défectueux est d’environ 5,71%.

Jeux de dés : Application de la Loi Binomiale

Énoncé de l’exercice

🎲 Une dés équilibré est lancé 10 fois. La probabilité d’obtenir un 6 lors d’un lancer est de 1/6. Calcule le nombre attendu de fois où le 6 apparaît dans ces 10 lancers.

Instructions

1. 🔍 Identifier les paramètres de la loi binomiale (nombre d’épreuves et probabilité de succès).
2. ✍️ Formuler la variable aléatoire correspondant au problème.
3. 📐 Appliquer la formule de l’espérance pour la loi binomiale.
4. ✅ Calculer le résultat final.

Correction

🎲 Étape 1 : Identifier les paramètres de la loi binomiale. Ici, le nombre d’épreuves est n = 10 et la probabilité de succès pour chaque épreuve est p = 1/6.

🔢 Étape 2 : La variable aléatoire X représente le nombre de succès (obtention d’un 6) sur les 10 lancers.

📏 Étape 3 : L’espérance de X pour une loi binomiale est donnée par E(X) = n × p.

🧮 Étape 4 : Calculons l’espérance : E(X) = 10 × (1/6) ≈ 1,67.

👉 La réponse finale est 1,67 fois que le 6 est attendu sur 10 lancers.

Conclusion

Tu as acquis une bonne compréhension des épreuves indépendantes et de la loi binomiale. Ces notions te seront utiles pour aborder tes examens avec assurance.

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