Fonction logarithme népérien – terminale

Comment utiliser la fonction logarithme népérien en terminale ? Elle te permet de résoudre des équations exponentielles et de comprendre les relations mathématiques.

Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie pour tout réel strictement positif. Pour un nombre x > 0, ln(x) correspond à l’unique réel y tel que e élevé à la puissance y est égal à x. Cette relation peut s’écrire ainsi : e^y = x.

Propriétés clés de la fonction ln

ln possède plusieurs propriétés importantes. Par exemple, ln(1) est égal à 0 car e⁰ = 1. De même, ln(e) vaut 1 puisque e¹ = e. De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques, ce qui signifie que leur composition donne l’identité.

Représentation graphique

Le graphe de la fonction ln présente une asymptote verticale à l’axe des ordonnées (Oy). Cette courbe est croissante et symétrique par rapport à la droite d’équation y = x lorsqu’elle est comparée à la fonction exponentielle. On observe que lorsque x tend vers 0, ln(x) tend vers moins l’infini.

Calcul de la dérivée

📌 La dérivée de ln(x) par rapport à x est donnée par :

f’(x) = 1/x

Cet élément est essentiel pour résoudre des problèmes de tangentes et d’optimisation.

Exemples d’application

📝 Supposons que tu veuilles résoudre l’équation ln(x) = 2. Tu peux réécrire cette équation en exponentielle : e² = x. Ainsi, x = e² ≈ 7,389.

Astuces pour mémoriser les propriétés

💡 Pour te souvenir que ln(e) = 1, pense que e est la base de la fonction exponentielle, et donc son logarithme népérien à cette base donne toujours 1.

Techniques de calcul rapide

🔧 Lorsque tu rencontres une expression comme ln(a) + ln(b), utilise la propriété suivante : ln(a) + ln(b) = ln(ab). Cela simplifie grandement les calculs.

Pour approfondir tes connaissances et pratiquer davantage, consulte les leçons de maths disponibles en ligne.

Résolution d’une équation avec le Logarithme Népérien

Énoncé de l’exercice

Soit l’équation ln(x) + 2 = x. 📐 Déterminez les solutions réelles de cette équation en utilisant les propriétés du logarithme népérien. 🧮 Assurez-vous de justifier chaque étape de votre raisonnement. Bonne chance !

Instructions

1. 🔍 Analyser l’équation donnée.
2. ✏️ Isoler le terme logarithmique si possible.
   • Exemple : Si l’équation est ln(x) = x – 2, pensez à isoler ln(x).

3. Exemple : Si l’équation est ln(x) = x – 2, pensez à isoler ln(x).
4. 📈 Représenter graphiquement les fonctions impliquées pour identifier les points d’intersection.
5. 🧮 Calculer numériquement ou utiliser une méthode itérative pour trouver les solutions approximatives. Il est normal de ne pas obtenir une solution exacte.
6. ✅ Vérifier les solutions obtenues en les remplaçant dans l’équation initiale.

• Exemple : Si l’équation est ln(x) = x – 2, pensez à isoler ln(x).

Correction

📝 Étape 1 : Analysons l’équation ln(x) + 2 = x. Nous cherchons les valeurs de x telles que le logarithme népérien de x augmenté de 2 soit égal à x.

📐 Étape 2 : Isolons le terme logarithmique :

ln(x) = x – 2

📊 Étape 3 : Représentons graphiquement les fonctions y = ln(x) et y = x – 2. Les points d’intersection de ces deux courbes représentent les solutions de l’équation.

🧮 Étape 4 : En observant le graphique, nous remarquons qu’il y a deux points d’intersection. Pour trouver les solutions numériques, utilisons une méthode itérative ou une calculatrice :

– Première solution : x ≈ 1

– Deuxième solution : x ≈ 3

✅ Étape 5 : Vérifions les solutions :

– Pour x ≈ 1 :

ln(1) + 2 = 0 + 2 = 2 ≈ 1 → Non vérifié.

– Pour x ≈ 3 :

ln(3) + 2 ≈ 1.0986 + 2 = 3.0986 ≈ 3 → Approximativement vérifié.

Solution finale : La solution réelle de l’équation est x ≈ 3.

Résolution d’une équation avec le logarithme népérien

Énoncé de l’exercice

🌟 Résolvez l’équation suivante pour x :
ln(3x – 2) = 4.
Utilisez les propriétés du logarithme népérien pour simplifier. 📚

Instructions

1. 🔍 Identifiez l’équation à résoudre.
2. ✏️ Appliquez la définition du logarithme népérien pour éliminer le logarithme.
3. 📐 Isolerez la variable x dans l’équation obtenue.
4. ✅ Vérifiez votre solution en la remplaçant dans l’équation initiale.

Correction

📝 Étape 1 :
On commence par l’équation ln(3x – 2) = 4.

🔄 Étape 2 :
Pour éliminer le logarithme, on utilise la définition du logarithme népérien :
e⁴ = 3x – 2.

➕ Étape 3 :
On résout pour x :

3x = e⁴ + 2

x = (e⁴ + 2) / 3

✔️ Étape 4 :
On vérifie la solution en remplaçant x dans l’équation initiale :

ln(3[(e⁴ + 2)/3] – 2) = ln(e⁴) = 4, ce qui est correct.

Réponse finale :
x = (e⁴ + 2) / 3

Résoudre une équation avec le logarithme népérien

Énoncé de l’exercice

Résous l’équation suivante : ln(x) + ln(x – 1) = 1 📚. Trouve la valeur de x telle que les conditions du domaine soient respectées.

Instructions

1. 🔍 Identifie les propriétés des logarithmes pouvant simplifier l’équation.
2. ✏️ Combine les logarithmes en une seule expression.
3. 📐 Résous l’équation exponentielle obtenue.
4. ✅ Vérifie la solution dans le domaine de définition.

Correction

📝 Étape 1 : Utilisons la propriété des logarithmes qui dit que ln(a) + ln(b) = ln(a × b). Donc, l’équation devient :

ln(x(x – 1)) = 1

🔄 Étape 2 : Convertissons l’équation logarithmique en équation exponentielle :

x(x – 1) = e^1

🔢 Étape 3 : Simplifions :

x^2 – x – e = 0

🧮 Étape 4 : Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule du discriminant :

Δ = 1 + 4e

✴️ Étape 5 : Calculons les solutions :

x = [1 ± √(1 + 4e)] / 2

🔍 Étape 6 : Étant donné que les logarithmes sont définis pour des arguments positifs, nous prenons la solution positive :

x = [1 + √(1 + 4e)] / 2

Conclusion

Tu as maintenant une bonne compréhension de la fonction logarithme népérien et de ses propriétés. Cette fonction te sera très utile dans tes études.

N’hésite pas à pratiquer davantage pour renforcer ta maîtrise du logarithme népérien et améliorer tes compétences en mathématiques.

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