Comment détermines-tu le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite pour tracer son graphique et interpréter les solutions d’un système d’équations ?
Caractérisation analytique d’une droite
Une droite dans un plan peut être décrite par une équation de la forme y = mx + p. Ici, m représente le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine. Cette forme est particulièrement utile pour identifier rapidement l’inclinaison et la position de la droite par rapport aux axes.
Coefficient directeur
Le coefficient directeur indique la pente de la droite. Si m est positif, la droite monte de la gauche vers la droite. Si m est négatif, elle descend. Un m = 0 signifie que la droite est horizontale.
📌 Astuces : Pour déterminer le coefficient directeur, choisis deux points distincts sur la droite et utilise la formule (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).
Droites parallèles et sécantes
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire m₁ = m₂. Elles ne se croisent jamais. En revanche, des droites sécantes ont des coefficients directeurs différents et se rencontrent en un point unique.
🛠️ Technique : Pour vérifier si deux droites sont parallèles, compare leurs coefficients directeurs. S’ils sont égaux, les droites le sont également.
Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations à deux inconnues cherche les valeurs de x et y qui satisfont simultanément les deux équations. Graphiquement, cela correspond au point d’intersection des deux droites représentées par les équations.
🔍 Par exemple, considère les droites y = 2x + 3 et y = -x + 1. Leur intersection donne la solution du système.
Méthodes de résolution par le calcul
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système, comme la substitution ou l’élimination. La méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction de l’autre et à remplacer dans l’autre équation. L’élimination, quant à elle, permet de combiner les équations pour éliminer une des variables.
🧮 Exemple : Pour le système y = 2x + 3 et y = -x + 1, égalise les deux expressions de y : 2x + 3 = -x + 1. Résout ensuite pour x puis trouve y.
Interprétation graphique des solutions
Le point d’intersection des deux droites représente les valeurs de x et y qui résolvent le système. Si les droites sont parallèles, il n’y a pas de solution. Si elles sont confondues, il y a une infinité de solutions.
📐 Par exemple, si tu représentes graphiquement y = 2x + 3 et y = -x + 1, le point où elles se croisent te donne la solution du système.
Applications pratiques
Les équations de droites sont utilisées dans divers domaines comme la physique, l’économie ou l’informatique pour modéliser des relations linéaires. Comprendre leur représentation graphique facilite l’analyse et la résolution de problèmes complexes.
Pour approfondir tes connaissances et pratiquer davantage, consulte nos cours de maths.
Détermination d’équations de droites et leur intersection
Énoncé de l’exercice
📐 Soient les points A(1, 2) et B(3, 6) pour la première droite, ainsi que les points C(1, 5) et D(4, 5) pour la seconde droite. Détermine les équations analytiques de ces deux droites et calcule la coordonnée du point d’intersection 📍.
Instructions
- 🔍 Calculer le coefficient directeur de chaque droite.
- ✍️ Déterminer l’équation réduite de chaque droite en utilisant le coefficient directeur et un point.
- 📊 Résoudre le système obtenu en mettant les deux équations égales pour trouver les coordonnées du point d’intersection.
- ✅ Vérifier les coordonnées trouvées dans les équations des deux droites.
Correction
📌 Étape 1 : Calculer le coefficient directeur des deux droites.
Pour la droite AB : mAB = (6 – 2)/(3 – 1) = 4/2 = 2.
Pour la droite CD : mCD = (5 – 5)/(4 – 1) = 0/3 = 0.
✏️ Étape 2 : Déterminer les équations réduites.
Droite AB : y – 2 = 2(x – 1) ⇒ y = 2x.
Droite CD : m = 0, donc l’équation est y = 5.
📈 Étape 3 : Résoudre le système :
2x = 5
x = 2,5
y = 5
✅ Étape 4 : Vérification des coordonnées dans les équations.
Pour AB : y = 2(2,5) = 5 ✔️
Pour CD : y = 5 ✔️
Ainsi, le point d’intersection est (2,5 ; 5).
Intersection de deux droites : Trouvez le point clé
Énoncé de l’exercice
Deux droites sont définies par les équations y = 3x + 2 et y = -x + 5. 📐 Déterminez le point d’intersection de ces deux droites et vérifiez si ce point appartient aux deux équations.
Instructions
- 📊 Écrire les deux équations sous la forme y = mx + p.
- ✏️ Résoudre le système d’équations pour trouver les coordonnées du point d’intersection.
- 🔍 Vérifier si les coordonnées obtenues satisfont les deux équations initiales.
Correction
✅ Étape 1 : Les équations sont déjà sous la forme y = mx + p :
Droite 1 : y = 3x + 2
Droite 2 : y = -x + 5
🔄 Étape 2 : Pour trouver le point d’intersection, on égalise les deux expressions de y :
3x + 2 = -x + 5
Résolution :
- Ajouter x des deux côtés : 4x + 2 = 5
- Soustraire 2 des deux côtés : 4x = 3
- Diviser par 4 : x = 3/4
🔢 Étape 3 : Calculer y en remplaçant x par 3/4 dans l’une des équations :
y = 3*(3/4) + 2 = 9/4 + 8/4 = 17/4
✅ Le point d’intersection est (3/4, 17/4).
🔍 Vérification :
- Pour la première équation : y = 3*(3/4) + 2 = 17/4 ✔️
- Pour la deuxième équation : y = – (3/4) + 5 = 17/4 ✔️
Réponse finale : Le point d’intersection est (3/4, 17/4).
Intersection de deux droites : Trouvez le point
Énoncé de l’exercice
📐Deux droites sont définies par les équations y = 3x + 2 et y = -x + 5. Déterminez les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites. 🔍
Instructions
- 🔢 Écrire les deux équations données.
- ✏️ Égaliser les deux expressions pour trouver la valeur de x.
- 📏 Substituer la valeur de x dans l’une des équations pour trouver y.
- ✅ Vérifier votre solution en remplaçant x et y dans les deux équations.
Correction
📝 Étape 1 :
Nous avons les équations des deux droites :
y = 3x + 2
y = -x + 5
🔄 Étape 2 :
Pour trouver le point d’intersection, égalisons les deux expressions de y :
3x + 2 = -x + 5
➕ Étape 3 :
Résolvons pour x :
3x + x = 5 – 2
4x = 3
x = 3/4
🔍 Étape 4 :
Substituons x = 3/4 dans la première équation pour trouver y :
y = 3*(3/4) + 2
y = 9/4 + 8/4
y = 17/4
✅ Étape 5 :
Vérifions dans la seconde équation :
y = – (3/4) + 5
y = -3/4 + 20/4
y = 17/4
Les deux équations donnent y = 17/4, donc la solution est correcte.
🎉 La solution finale est le point d’intersection (3/4, 17/4).
Tu as acquis une bonne connaissance des équations de droite et de leur interprétation graphique. Ces compétences te seront utiles pour réussir le CRPE en mathématiques.
Besoin de plus de pratique ? Consulte nos cours particuliers.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
