Cosinus d’un angle aigu – 4ème

Comment calculer le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle? Sache que le cosinus d’un angle aigu correspond au rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

Qu’est-ce que le cosinus d’un angle aigu?

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu représente le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l’hypoténuse. Ainsi, si tu regardes un triangle rectangle, comme le triangle ABC où l’angle droit est en A, le côté adjacent pour l’angle ABC est AB, et l’hypoténuse est BC. Le cosinus se calcule donc comme suit : cos(∠ABC) = AB / BC.

Quelles sont les propriétés du Cosinus?

Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. La raison est simple : l’hypoténuse est toujours le plus long côté d’un triangle rectangle. Plus l’angle se rapproche de 0°, plus le cosinus s’approche de 1. À l’inverse, à mesure que cet angle se rapproche de 90°, sa valeur tend vers 0. Ces propriétés sont très utiles pour vérifier des calculs ou inférer des informations sur les angles d’un triangle.

📘 Exemple : Dans un triangle XYZ rectangle en X, où l’hypoténuse est YZ de 10 cm et le côté adjacent à l’angle Y de 6 cm : cos(∠Y) = XY / YZ = 6/10 = 0,6.

Application de la calculatrice

Pour déterminer le cosinus d’un angle, tu peux aussi utiliser une calculatrice. Pour ce faire, assure-toi simplement que ta calculatrice est en mode « degrés » et non en « radians ». Par exemple, pour trouver cos(60°), il te suffit d’entrer l’angle sur ta calculatrice et le résultat affiché sera 0,5.

📘 Exemple : Dans le triangle LKM, rectangle en K avec l’hypoténuse LM de 15 cm. Si tu connais le cosinus de l’angle L, qui est 0,8, tu souhaites trouver la longueur LK. Tu résoudras LK = cos(L) × LM = 0,8 × 15 = 12 cm.

💡 Retenir l’astuce « CAH » pour Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. En associant CAH à cosinus, et en visualisant un triangle rectangle, cette méthode facilite grandement la mémorisation de ce rapport.

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Exercices de maths

Voici quelques exercices pour t’entraîner et renforcer tes compétences en trigonométrie. Courage, tu vas y arriver !

Apprendre à calculer le cosinus d’un angle aigu

Énoncé de l’exercice

Consignes : Dans le triangle rectangle XYZ, l’angle X est un angle aigu. 🧮 Les longueurs des côtés sont : XY = 8 cm et XZ = 10 cm, où XZ est l’hypoténuse. 🤔 Calculez le cosinus de l’angle Y.

Instructions

1. 🔎 Identifiez le côté adjacent à l’angle Y. Rappelez-vous que c’est le côté qui partage un sommet avec l’hypoténuse.
2. 📏 Utilisez la formule du cosinus : cos(angle) = longueur du côté adjacent / longueur de l’hypoténuse.
3. 📊 Insérez les valeurs des longueurs trouvées pour calculer le cosinus.

Correction

🔎 Tout d’abord, identifions le côté adjacent à l’angle Y. Dans notre cas, le côté XY est adjacent à l’angle Y et mesure 8 cm.

📏 Ensuite, utilisons la formule du cosinus : cos(Y) = XY / XZ.

📊 En insérant les valeurs, nous avons : cos(Y) = 8 / 10.

🔔 Après simplification, cela donne : cos(Y) = 0,8.

Calcul du cosinus dans un triangle rectangle

Énoncé de l’exercice

Dans un triangle rectangle 😊, considérons le triangle ABC rectangle en A. L’hypoténuse est le segment [BC] de longueur 10 cm et le côté adjacent à l’angle ABC est le segment [AB] de longueur 6 cm. Utilisez vos connaissances sur le cosinus 🔍 pour calculer le cosinus de l’angle ABC. Quelle est la valeur de cos(ABC) ? 🍀

Instructions

1. 🔍 Identifiez le côté opposé et le côté adjacent à l’angle ABC.
2. 📏 Utilisez la formule du cosinus : cosinus d’un angle = côté adjacent / hypoténuse.
3. 🔢 Insérez les valeurs appropriées dans la formule pour effectuer le calcul.
4. 🎉 Vérifiez votre réponse afin de vous assurer qu’elle est entre 0 et 1.

Correction

🧐 Tout d’abord, identifions les côtés du triangle. Le côté adjacent à l’angle ABC est le segment [AB], et il mesure 6 cm. L’hypoténuse est le segment [BC], et il mesure 10 cm.

📏 Ensuite, utilisons la formule du cosinus :
cos(ABC) = longueur du côté adjacent / longueur de l’hypoténuse.

🔢 Insérons maintenant les valeurs dans la formule :
cos(ABC) = 6 / 10 = 0,6.

🎯 Enfin, vérifions que la valeur obtenue est bien comprise entre 0 et 1. C’est le cas, car 0,6 est bien dans cet intervalle.

Le cosinus de l’angle ABC est donc 0,6.

Exercice : Calculer le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle

Énoncé de l’exercice

Dans un triangle rectangle nommé A B C, l’angle droit est en A, et [B C] est l’hypoténuse. La longueur du côté [B A] est de 6 cm et celle de l’hypoténuse [B C] est de 10 cm. ✨

🐢 Calculez le cosinus de l’angle A B C (noté ∠B). Pensez à utiliser la formule du cosinus d’un angle aigu ! 😊

Instructions

1. 🎯 Identifiez le côté adjacent à l’angle ∠B. Souvenez-vous que dans un triangle rectangle, ce côté touche l’angle et l’angle droit.
2. 📐 Notez la longueur de l’hypoténuse. C’est toujours le plus grand côté du triangle.
3. 🧮 Appliquez la formule du cosinus : cosinus(∠B) = (longueur du côté adjacent à ∠B)/(longueur de l’hypoténuse).
4. 🔍 Calculez la valeur du cosinus et vérifiez qu’elle est bien comprise entre 0 et 1 pour vous assurer d’avoir fait le bon calcul. 🎉

Correction

🔍 Étape 1 : Le côté adjacent à l’angle ∠B est le côté [B A], qui mesure 6 cm.

✏️ Étape 2 : L’hypoténuse est le côté [B C], qui mesure 10 cm.

🧮 Étape 3 : Utilisons la formule du cosinus pour ∠B : cos(∠B) = B A / B C = 6/10.

📏 Étape 4 : Effectuons le calcul : cosinus(∠B) = 0,6.

✅ La valeur du cosinus de l’angle ∠B est de 0,6.

Conclusion

Tu as découvert comment le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle se calcule avec le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse. Ce concept est à la base de nombreux calculs en trigonométrie et est fondamental pour tes études futures.

En utilisant ta calculatrice et des exemples pratiques, tu pourras appliquer ces notions pour résoudre des problèmes concrets. Rappelle-toi que la valeur d’un cosinus se situe entre 0 et 1, ce qui facilite son usage lors des manipulations mathématiques.

Prends le temps d’exercer ces notions pour les maîtriser pleinement; et si tu souhaites te perfectionner, trouve plus d’information sur la page dédiée aux cours de maths de 4ème.

Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.