Tu te demandes comment calculer avec les racines carrées pour le CRPE ? Découvre les nombres et les techniques en mathématiques pour réussir.
Les racines carrées sont des opérations fondamentales en mathématiques. Elles permettent de trouver un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre initial. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, car 3 × 3 = 9.
Définition et propriétés des racines carrées
La racine carrée d’un nombre a est un nombre b tel que b² = a. On la note √a. Par exemple, √16 = 4 puisque 4² = 16.
Les racines carrées ont quelques propriétés importantes :
- √a × √b = √(a × b)
- √a ÷ √b = √(a ÷ b)
- Si a est un nombre positif ou nul, alors √a est défini.
Calcul des racines carrées
Pour calculer une racine carrée, surtout si le résultat ne donne pas un nombre entier, on utilise souvent une calculatrice pour obtenir une valeur approchée. Par exemple, √2 ≈ 1,414.
🧮 Exemple : Calcule √(5 × 20).
On applique la propriété : √5 × √20.
Calculons chaque racine : √5 ≈ 2,236 et √20 ≈ 4,472.
Le produit est donc 2,236 × 4,472 ≈ 10.
Techniques pour simplifier les racines carrées
🔧 Pour simplifier les racines carrées, il est utile de décomposer le nombre en facteurs premiers. Par exemple, pour simplifier √50 :
- Décompose 50 en facteurs premiers : 50 = 25 × 2
- √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2
Limites des calculs avec les racines carrées
Les opérations d’addition et de soustraction ne se simplifient pas de la même manière que la multiplication ou la division. Par exemple, √a + √b ≠ √(a + b) sauf dans des cas particuliers.
⚠️ Cela signifie que tu dois traiter chaque racine carrée séparément lors des additions ou soustractions.
Ordre des opérations avec les racines carrées
Lors de la résolution de calculs complexes, il est essentiel de suivre l’ordre des opérations. Les racines carrées et les puissances sont traitées avant les additions et les soustractions.
Fonction carré et racines carrées
La fonction carré est inverse de la racine carrée. Comprendre cette relation aide à manipuler les expressions algébriques de manière efficace.
Ressources complémentaires
Pour approfondir tes connaissances, consulte les leçons de maths disponibles sur notre site. Tu y trouveras des explications détaillées et des exercices pratiques pour maîtriser les racines carrées et bien d’autres concepts mathématiques.
Calculs impliquant les racines carrées – CRPE
Énoncé de l’exercice
Simplifiez l’expression suivante : √50 × √2 🧮. Utilisez les propriétés des racines carrées pour faciliter le calcul. Astuce : Rappelez-vous que √a × √b = √(a × b).
Instructions
- 🔍 Identifiez les deux racines carrées à simplifier.
- ➗ Appliquez la propriété √a × √b = √(a × b).
- 🧮 Calculez le produit à l’intérieur de la racine carrée.
- ✂️ Simplifiez la racine carrée obtenue.
- Conseil : Recherchez des facteurs carrés pour simplifier davantage.
Correction
✅ Étape 1 : Identifier les racines carrées à simplifier.
L’expression donnée est √50 × √2.
🔄 Étape 2 : Appliquer la propriété des racines carrées.
On a √50 × √2 = √(50 × 2).
🧮 Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la racine.
50 × 2 = 100.
Donc, √(50 × 2) = √100.
✂️ Étape 4 : Simplifier la racine carrée.
√100 = 10.
Réponse finale : 10.
Simplification d’Expressions avec les Racines Carrées
Énoncé de l’exercice
Simplifiez l’expression suivante en utilisant les propriétés des racines carrées :
√(50) + 2√(18) – √(32) 🧮✨
Instructions
- 🔍 Identifiez les facteurs carrés dans chaque terme.
- ✂️ Décomposez chaque racine carrée en produit d’un facteur carré et d’un facteur non carré.
- ➗ Simplifiez les racines carrées obtenues.
- ➕ Combinez les termes similaires.
- 💡 Vérifiez votre résultat final pour vous assurer qu’il est simplifié au maximum.
Correction
📝 Étape 1 : Identifier les facteurs carrés dans chaque terme.
Pour √50, on peut écrire 50 = 25 × 2. Pour √18, 18 = 9 × 2. Pour √32, 32 = 16 × 2.
🔄 Étape 2 : Décomposer chaque racine carrée.
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2
2√18 = 2 × √(9 × 2) = 2 × √9 × √2 = 2 × 3√2 = 6√2
√32 = √(16 × 2) = √16 × √2 = 4√2
➖ Étape 3 : Simplifier les termes.
Donc, l’expression devient : 5√2 + 6√2 – 4√2
➕ Étape 4 : Combiner les termes similaires.
5√2 + 6√2 – 4√2 = (5 + 6 – 4)√2 = 7√2
🎉 Réponse finale : 7√2
Calculs avec les Racines Carrées – CRPE Maths
Énoncé de l’exercice
🟢 Un jardin rectangulaire a une surface de 144 m². Si la longueur est égale à la racine carrée de la largeur multipliée par 3,
détermine les dimensions du jardin. 🌳📐
Instructions
- 🔍 Définir les variables pour la longueur et la largeur.
- ➗ Utiliser la relation entre la longueur et la largeur donnée dans l’énoncé.
- Exemple : si longueur = √largeur × 3
- Exemple : si longueur = √largeur × 3
- 📐 Établir une équation en utilisant la surface du jardin.
- 🔢 Résoudre l’équation pour trouver la valeur de la largeur.
- 📏 Calculer la longueur en utilisant la valeur trouvée pour la largeur.
- 💡 Vérifie tes réponses en recalculant la surface.
- Exemple : si longueur = √largeur × 3
Correction
📝 Étape 1 : Soit
L la longueur et
l la largeur du jardin.
🔗 Étape 2 : Selon l’énoncé,
L = √l × 3
📚 Étape 3 : La surface du jardin est donnée par
L × l = 144. En remplaçant L par √l × 3, on obtient :
(√l × 3) × l = 144
📐 Étape 4 : Simplifions l’équation :
3 × l × √l = 144 ⟹ l × √l = 48
🔍 Étape 5 : Notons
√l = x. Alors, l = x². Substituons dans l’équation :
x² × x = 48 ⟹ x³ = 48 ⟹ x = ∛48 ≈ 3.634
📏 Étape 6 : Donc,
l = x² ≈ (3.634)² ≈ 13.214 m
📐 Étape 7 : Calculons la longueur :
L = √l × 3 ≈ √13.214 × 3 ≈ 3.634 × 3 ≈ 10.902 m
✅ Réponse finale : La largeur est d’environ
13.21 m et la longueur est d’environ
10.90 m.
Tu as désormais une bonne compréhension des calculs avec les racines carrées. Ces compétences te seront utiles pour réussir les épreuves du CRPE en maths.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
